于是 ∑ n= nvn+n n(2n-1)√(2n-13+(2n-1) 这是一个 Leibniz级数,它的前两项为与 所以 2152 30 13.设f(x)=∑ (1)证明f(x)在[0,+∞)上可导,且一致连续 (2)证明反常积分∫。f(x)dk发散 证(1)由 ∑收敛,可知 在[0,+∞)上点态收 敛;又 d(1 x)(2”+xy,且对一切 1 x∈U,+∝ dx (2"+x)2 收敛,所以乏 在[0,+∞)上一致收敛。由逐项求导定理 f(x)=∑在0+∞)上可导 由于 f(x)-f(x2)=∑ n=02+x1 可知∫(x)在[O,+∞)上一致连续 (2)ff(x)=(∑)>∑自 >In 1+ k=0 由于imn叫,x=+∞,可知m「(x)=+,所以反常积分 f(x)d发散于是 = + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ =1 3 2 sin 1 2 n n n n n F π π ∑ ∞ = − − − + − − 1 3 1 (2 1) (2 1) (2 1) ( 1) n n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数, 它的前两项为 2 2 与 3 30 1 − ，所以 2 2 3 30 2 1 2 2 15 1 2 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < − < π F 。 13．设 ∑ ∞ = + = 0 2 1 ( ) n n x f x 。 （1） 证明 f (x)在[0, + ∞) 上可导，且一致连续； （2） 证明反常积分∫ 发散。 +∞ 0 f (x)dx 证 （1）由 n n x 2 1 2 1 ≤ + ， ∑ ∞ =0 2 1 n n 收敛，可知 ∑ ∞ =0 2 + 1 n n x 在 上点态收 敛；又 [0, + ∞) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx + x d n 2 1 2 (2 ) 1 x n + − ，且对一切 x ∈[0, + ∞) ， n n x 2 2 2 1 (2 ) 1 ≤ + − ， ∑ ∞ =0 2 2 1 n n 收敛，所以 ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 2 + 1 n n dx x d 在[0, + ∞) 上一致收敛。由逐项求导定理， ∑ ∞ = + = 0 2 1 ( ) n n x f x 在[0, + ∞) 上可导。 由于 f (x1) − f (x2 ) = ∑ ∑ ∞ = ∞ = + − 0 0 + 1 2 2 1 2 1 n n n n x x ∑ ∞ = ≤ − ⋅ 0 1 2 4 1 n n x x ， 可知 f (x)在[0, + ∞) 上一致连续。 （2） ∫ = A f x dx 0 ( ) dx n x n A ) 2 1 ( 0 ∫ 0 ∑ ∞ = + ∑∫ = + > n k A k x dx 0 0 2 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n k k A 0 2 ln 1 ， 由于 ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + = →+∞ n k k A A 0 2 lim ln 1 ，可知 ，所以反常积分 发散。 ∫ = + ∞ →+∞ A A f x dx 0 lim ( ) ∫ +∞ 0 f (x)dx 11