由于乏1收敛,由 Weierstrass y到别法,可知∑anx在[.2上一 =12 n=12 致收敛,从而(x)=∑m在[0,2连续 (2)由(1),∑1mnx在,2上一致收敛,由逐项积分定理, cos f(x)dx=「 tan-d In- cos 再利用例题953的结果∏osx=出x,得到 sin f(x)x=m6.2 2 12.设f(x)=∑A0。 (1)证明:f(x)在(-∞,+∞)上连续; (2)记F(x)=J(dt,证明: 证(1)对一切x∈(-∞,+∞),有 由于∑收敛,由 Weierstrass判别法,可知在(+o)上 cos nx 一致收敛,所以f(x)=∑ cosnx 在(-∞,+∞)上连续 n+n (2)由于∑在(-,+)上一致收敛,由逐项积分定理 F(x)=Jo/(dt=∑ coS d=∑出 n+n n=l nvn+n由于 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛，由 Weierstraass 判别法，可知 ∑ ∞ =1 2 tan 2 1 n n n x 在 ] 2 [0, π 上一 致收敛，从而 ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 ( ) n n n x f x 在 ] 2 [0, π 连续。 （2） 由（1）， ∑ ∞ =1 2 tan 2 1 n n n x 在 ] 2 , 6 [ π π 上一致收敛，由逐项积分定理， ∫ 2 = 6 ( ) π π f x dx ∫ 2 6 2 2 tan π π n n x d x 1 1 1 2 cos 3 2 cos ln + ∞ + = ⋅ = ∑ n n n π π 1 1 1 1 2 cos 3 2 cos ln + ∞ = + ∞ = ∏ ∏ ⋅ = n n n n π π ， 再利用例题 9.5.3 的结果∏ ∞ = = 1 sin 2 cos n n x x x ，得到 ∫ 2 6 ( ) π π f x dx ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ 2 sin 2 6 6 sin ln π π π π 2 3 = ln 。 12．设 ∑ ∞ = + = 1 3 cos ( ) n n n nx f x 。 （1） 证明： f (x)在(−∞, + ∞)上连续； （2）记 = ∫ ，证明： x F x f t dt 0 ( ) ( ) 2 2 15 2 1 2 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < π F 。 证 （1）对一切 x ∈ (−∞, + ∞)，有 2 3 3 cos 1 n n n nx < + ， 由于 ∑ ∞ =1 2 3 1 n n 收敛，由 Weierstraass 判别法，可知∑ ∞ =1 +3 cos n n n nx 在 上 一致收敛，所以 (−∞, + ∞) ∑ ∞ = + = 1 3 cos ( ) n n n nx f x 在(−∞, + ∞)上连续； （2）由于 ∑ ∞ =1 +3 cos n n n nx 在(−∞, + ∞)上一致收敛，由逐项积分定理， F(x) = ∫ = x f t dt 0 ( ) = + ∑ ∫ ∞ = x n dt n n nt 0 3 1 cos ∑ ∞ =1 +3 sin n n n n nx , 10