其中v(x)由=M在可相差一个任意积分常数的情况下确定 例128求出方程(3x2y+8xy2)d+(x3+8x2y+12y2)dy=0的通 解法一这时M=3x2y+8xy2,N=x3+8x2y+12xy2,由于 aM ON x2+1y=a2,即满足条件(1.2.2),于是由(1.2.26)可得通解 u(a,y)=/N(, y)dy=xy+4x2y2+4y+v(a) 为确定v(x),将上式两边对x求偏导,并利用=M,可见可取v(x)=0 所以通解是x3y+4x2y2+4y=c 解法二将原方程分组为 则很容易就凑成微分 0 于是可立得积分 x3y+4x2y2+4y3=c 这种分项组合法在求全微分方程的解时往往比较简便,甚至还可以用来求不 是全微分的一阶方程的解.以下我们会多次使用分项组合法来求解一阶微分方 2.积分因子为了回答上面的问题3°,我们需要介绍一下积分因子的概 念.假设(1.220)不是全微分方程,如果存在连续可微函数p=1(x,y)≠0, 使得 u(a, y)M(a, y)dx +u(, yN(a, y)dy=0 (1.2.27) 为全微分方程,亦即存在函数u=u(x,y)使得 du(a, y)=u(a, y)M(, ydx +u(a, y)N(, y)dy, 则称p(x,y)为方程(1220)的积分因子.这时a(x,y)=c为(1.227)的通 解,也是方程(12.20)的通解.注意,有时使积分因子的值为无穷大的函数也 能是方程的特解(这时原方程乘以这积分因子相当于原微分方程两边同除以 零而失去一个解)这个特解不一定包含在通解中 例如对于方程rdx+ydy+(x2+y2)xd=0,若两边同乘p(x,y)= +rdr= 0 从而 d(aln(x2+y2)+4(3x2)=0,XI ψ(x)  ∂u ∂x = M O, *t@u#uvwN6. v 1.2.8 YZv3 (3x 2y + 8xy2 )dx + (x 3 + 8x 2y + 12y 2 )dy = 0 ' . *s () M = 3x 2y + 8xy2 , N = x 3 + 8x 2y + 12y 2 , \ ∂M ∂y = 3x 2 + 16xy = ∂N ∂x , s78k (1.2.22), \  (1.2.26) Ol' u(x, y) = Z N(x, y)dy = x 3 y + 4x 2 y 2 + 4y 3 + ψ(x). 'N6 ψ(x), bfd)h x Y/s, _Y{ ∂u ∂x = M, OPO ψ(x) = 0 $' x 3y + 4x 2y 2 + 4y = c. *s b+v3u' £ (3x 2 y + 8xy2 )dx + (x 3 + 8x 2 y)dy ¤ + 12y 2dy = 0, <lm$"rtu d(x 3 y + 4x 2 y 2 ) + 4d(y 3 ) = 0. \ Ol@u. x 3 y + 4x 2 y 2 + 4y 3 = c. (iu ￾YLtuv3 )jjwmo< #ixO{;Y Ltu v3 . w|} ?Q{u ￾;Y  tuv 3. 2. y[ 'MhflGH 3 ◦ , |}Now@u'} . QR (1.2.20)  Ltuv3, q:noOt"# µ = µ(x, y) 6= 0, Ql µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (1.2.27) 'Ltuv3, ^s:"# u = u(x, y) Ql du(x, y) = µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy, ` µ(x, y) 'v3 (1.2.20) y[. () u(x, y) = c ' (1.2.27) ' , e v3 (1.2.20) ' . st, y)Q@u'}+'Ko#"#e OP v3D (()+v3$(@u'},m\+tuv3)hWk U#J* )(*D 6:~' I. |q\v3 xdx + ydy + (x 2 + y 2 )xdx = 0, @)hW$ µ(x, y) = 1/(x 2 + y 2 ), sl xdx + ydy x 2 + y 2 + xdx = 0, WU d(1 2 ln(x 2 + y 2 )) + d(1 2 x 2 ) = 0, 14