华东师范大学数学系：《常微分方程》课程教学资源（学习指导，共三章，负责人：高雄）

常微分方程学习指导 华东师范大学数学系 2004年1月

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 20041

目录 第一章基本概念和初等解法 1.1微分方程的基本概念 1 1.2初等解法 4 1.3基本理论问题 20 第二章线性微分方程组 2.1引论 26 2.2一般理论 30 2.3常系数线性微分方程组 36 2.4高阶线性微分方程 43 第三章定性和稳定性理论 3.1基本概念 54 3.2二阶系统的定性分析 58 3.3一般非线性系统平衡点的稳定性 64 3.3后记 69 1

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第一章基本概念和初等解法 1.1高阶方程的定析非念 基本概念 1.常微分方程所谓常微分方程就是一个或几个联系着一个自变量、未 知函数与它们的微分或未知函数的导数之间关系的等式 以下就是一些常微分方程的例子 x2+1, (1.11 sint 2 rdx+ tdt=0 1.1.4 其中(1.1.1)不显含自变量t,(11.2)不显含未知函数x,(1.13)不显含自 变量t和未知函数x.(11.4)是常微分方程的微分形式,其中变量t和x没有 指定自变量和因变量,它描述了这两个变量之间的关系,这个关系不一定是单 值的函数关系 本指导书中在不会混淆时简称“常微分方程”为“微分方程”甚至简称为“方 在微分方程中,必定含有未知函数的导数,其中出现的最高阶数就称为该 微分方程的阶数;微分方程中可以不显含自变量或未知函数本身. 般n阶常微分方程可写成如下隐方程形式 F(t,, at d'r dtn (1.1.5) 其中F是其变元的已知函数 但在实际常常讨论最高阶导数已解出的标准形式 f(t, (1.1.6) 即方程的左边是未知函数的最高阶导数(m阶导数),而方程的右边为自变量 未知函数和未知函数低于n阶的导数的已知函数

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1. 2 $%2{"_\] I#F`{ I#`#Jw"`. w$ rtuv3|} dx dt = x 2 + 1, (1.1.1) d 2x dt 2 = sin t, (1.1.2) d 2x dt 2 = 1, (1.1.3) xdx + tdt = 0, (1.1.4) XI (1.1.1) `~% & t, (1.1.2) `~{"# x, (1.1.3) `~% & t {"# x. (1.1.4) tuv3tu6d, XI & t  x *y *6% &' & +"#c/. *sI -)m`“tuv3”'“tuv3”#im`'“v 3”. tuv3I, X6~y{"#s#, XIZ<% #$`'w `#; tuv3IO`~% &i{"#%. d n tuv3Oqrqw,v36d F(t, x, dx dt , . . . , d nx dt n ) = 0; (1.1.5) XI F X gz{"#. =EF4% s#z Z} d nx dt n = f(t, x, dx dt , . . . , d n−1x dt n−1 ), (1.1.6) sv3￾h {"#% s# (n s#), Uv3gh'% &B {"#{"#S\ n s#z{"#. 1

记x 可以把n阶方程(1.1.6)作为如下n个未知函数x1,x2, xn的n个一阶方程进行讨论: 1 dt=f(,1,…xn 可以把它作为一个矢量(本书中用粗体字母表示矢量)的微分方程 da dtf(t, a), (1.1.8) 其中x=(x1,,xn),f=(0,,f)均为n维列矢量 2.线性和非线性若n阶微分方程(11.5)中的函数F关于未知函数x, 以及未知函数的导数a,…,drn作为m+1个变量的整体是一次有理整式, 我们就称它为n阶线性方程,它的一般形式是 a0(t)x()+a1(x(n-1)+…+an-1(t)x+an(t)x=f(t),(1.1.9) 其中ao(t)≠0.若f(t)≡0,则称方程(1.19)为线性齐次方程,若f(t)≠0 则称方程(1.1.9)为线性非齐次方程.若a0(t)≠0时,可将上式两边同除以 (t)就得到最高阶导数项的系数是1的标准形式.函数矢量的一阶线性微分 方程的一般形式为 A(t)a+f(t) (1.1.10) 其中x,f均为n维列矢量,而A(t)为n阶方阵(本书中都用这种字体表示矩 阵,粗体字表示矢量) 不是线性的方程就称为非线性方程.例如x=sinx,xx'=t,x'=x2,都 是非线性方程.因为sinx不是x的一次函数;xx′关于未知函数及其导数是 次的,x2关于未知函数是二次的.而x′=t2是线性方程,因为t2是已知 函数,关于未知函数和其导数是一次的 3.微分方程的解如果把已知函数x=y(t)或函数矢量=q(t)及其 导函数代入相应的微分方程,使得该微分方程在函数p()或函数矢量q(t)的 定义区间Ⅰ上成为恒等式,则称这种函数φ(t)或函数矢量φ(t)为微分方程在 区间Ⅰ上的(显式)解.这个区间Ⅰ称为微分方程的解的定义区间.同一个微分 方程可以有不同的解,不同的解的定义区间可以不同 由定义可见解函数的定义区间I的长度一定大于零,不然解函数的导数就 没有意义.定义区间可能是开区间,闭区间,或半开半闭区 若方程的解是由隐函数决定的,则称之为隐式解.若方程的解是由参数形 式表示的,则称之为参数形式解

Y x1 = x, Oj n v3 (1.1.6) 'qw n *{"# x1, x2, . . ., xn n * v3+K4    dx1 dt = x2, dx2 dt = x3, . . . dxn−1 dt = xn, dxn dt = f(t, x1, . . . , xn); (1.1.7) Oj0'*w&(I{.?/￾rw&)tuv3: dx dt = f(t, x), (1.1.8) XI x = (x1, . . . , xn) T , f = (0, . . . , f) T ]' n f!w&. 2. "z#" @ n tuv3 (1.1.5) I"# F c\{"# x, {"#s# dx dt , . . ., d nx dt n ' n+1 * &? y9d, |}$`0' n ", 0d6d a0(t)x (n) + a1(t)x (n−1) + · · · + an−1(t)x 0 + an(t)x = f(t), (1.1.9) XI a0(t) 6≡ 0. @ f(t) ≡ 0,`v3 (1.1.9) ':;jv3, @ f(t) 6≡ 0, `v3 (1.1.9) ':;9jv3. @ a0(t) 6= 0 )< Obfd)hWk a0(t) $lM% s# /# 1 306d. "#w& :;tu v3d6d' dx dt = A(t)x + f(t), (1.1.10) XI x, f ]' n f!w&, U A(t) ' n v% (I{(i/?rk %, .?/rw&).  :;v3$`'#". |q x 0 = sin x, xx0 = t, x 0 = x 2 ,  9:;v3. '' sin x  x "#; xx0 c\{"#Xs# < x 2 c\{"# . U x 0 = t 2 :;v3< '' t 2 z{ "#< c\{"#Xs# . 3. `* qjz{"# x = ϕ(t) i"#w& x = ϕ(t) X s"#de, tuv3, Qlwtuv3"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 6] I fr'd, `(i"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 'tuv3 ] I f(`d) . (*] I `'tuv3 6]. W*tu v3OyW , W 6]OW. 6OP "#6] I 06#\, g "#s#$ *yt. 6]OP ], ], iq q]. @v3 ,"#M6, `R',d . @v3 F#6 dr, `R'F#6d . 2

4.通解、定解问题和特解对于n阶方程(1.1.5)来说,如果在它的解 x=φ(t,C1,…,Cn)中含有n个独立的任意常数c1,…,Cn,则称这个解为 (1.15)的通解 例如dr/dt=2t的通解为x=t2+c,但y=x2+c1+e中的常数c1和 就不是独立的,因为可以将这两个常数相加而成为一个常数.值得注意的是通 解不一定包含了方程所有的解:例如可以验证x=ct-c2是方程x=tx-x 的通解,其中c为任意常数;这个方程还有一个解x=t2/4就不包括在它的通 由于微分方程的通解总含有任意常数,因此为了确定它的某个特定的解,还 必须给出该解所应满足的条件,这种条件就称为定解条件.定解条件由于实际 情况的不同有各种各样,我们在本书中只考虑初始条件,初始条件是指当自变 量在某一给定点时,未知函数以及它的低于方程阶数的导函数在该点应取给定 的数值.对于方程(1.1.5)的初始条件为 C( to=a 0,x(to)=x1 n-1 其中x0,x1,…,xn-1为给定的已知数值.而对于矢量方程(1.1.7)的初始条 件为 这里to为自变量t在其变化区间I中的一个给定点,而co为给定的n维常 我们把微分方程的不含任意常数的解称为该方程的特解 例如可以验证x=c1cost+e2sint是二阶方程x"+x=0的通解.因 此不难求出x”+x=0满足初始条件x(0)=1,x(0)=0的特解为x=cost 二、一阶方程解的几何意义 对于一阶微分方程,习惯上用x,y作为变量,并且常常用x作为自变量 y作为未知函数 1.积分曲线设D为,y平面上的区域,考虑微分方程 =f(x,y),(x,y)∈D. (11.11 设函数y=y(x)为(1.1.11)的一个特解,这函数在x,y平面上的图像是D 中的一条曲线,我们称它为方程(1.1.11)的一条积分曲线.设(11.11)的通解 是,y=g(x,c),当其中任意常数c在某一实数集合中取值时,就得到D中的 积分曲线的集合,我们称它为积分曲线族(1.1.11)满足初始条件y(x0)=90 的特解就是通过点(x0,3)∈D的积分曲线.此外,在(11.11)的积分曲线 上任一点(x,φ(x)处,其切线斜率φ(x)正好等于函数f(x,y)在该点处的 值f(x,φ(x),即y=g(x)满足方程(1.1.11);反之,如果对于D中的任 条光滑曲线y=2(x),在它上面任一点处的切线斜率φ(x)刚好就是函数 ∫(x,y)在该点处的值f(x,p(x),则此曲线就是(1.1.11)的积分曲线

4. -* }*$%z.* \ n v3 (1.1.5) ;~, q0 x = ϕ(t, c1, . . . , cn) I~y n */t# c1, . . . , cn, `(* ' (1.1.5) -*. |q dx/dt = 2t ' ' x = t 2+c, = y = x 2+c1+c2 I# c1  c2 $ /, ''Ob()*#,Ur'*#. +lst - *2}&345*`*; |qOM x = ct−c 2 v3 x = tx0 −x 02 ' , XI c 't#; (*v3xy* x = t 2/4 $:;0' I. \tuv3' ~yt#, 'c'MN60(*D6 , x X?Zw $ 78k, (ik$`'}*|@. 6 k\EF uvWyqiqX, |}IVno!k, !k *m% &(6), {"#0S\v3 #s"#w 6 #+. \v3 (1.1.5) !k' x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, . . . x(n−1)(t0) = xn−1; XI x0, x1, . . . , xn−1 '6z{#+. U\w&v3 (1.1.7) ! k' x(t0) = x0, (( t0 '% & t X !] I I*6, U x0 '6 n f w&. |}jtuv3~t# `'wv3.*. |qOM x = c1 cost + c2 sin t  v3 x 00 + x = 0 ' . ' cOYZ x 00 + x = 0 78!k x(0) = 1, x 0 (0) = 0 D ' x = cost.  *`OPQ \ tuv3, 0f{ x, y ' &< _0{ x '% &< y '{"#. 1. yR" R D ' x, y \lf]0, notuv3 dy dx = f(x, y), (x, y) ∈ D. (1.1.11) R"# y = ϕ(x) ' (1.1.11) *D , ("# x, y \lf { D IS:, |}`0'v3 (1.1.11) yR". R (1.1.11) ' , y = ϕ(x, c), mXIt# c (E#￾I+), $lM D I @uS:￾, |}`0'yR"U. (1.1.11) 78!k y(x0) = y0 D $ '2 (x0, y0) ∈ D @uS:. c,  (1.1.11) @uS: f (x, ϕ(x)) , XE:V ϕ 0 (x) 1=\"# f(x, y) w + f(x, ϕ(x)), s y = ϕ(x) 78v3 (1.1.11) ; 2R, q\ D I WXS: y = ϕ(x), 0flE:V ϕ 0 (x) Y=$ "# f(x, y) w+ f(x, ϕ(x)), cS:$ (1.1.11) @uS:. 3

812初等解法 本节将介绍如何将某些几阶方含的解用初等线数或用初等线数的积分来表 示,这种解法称为初等解法.虽然这些方含的类型很有限,但对于实际问题中 出现的常微分方含却经常用验,因此掌握这些类型方含的解法还、有重要的实 价值的 几、分离变量法 1.变量分离方程我们称何写成形如 a2=f(x)9(y) (1.21 的几阶方含为变量分离方程,滑中∫(x)书9(9)分别为x,y的连续线数.例如 方含y=y2cosx,y=er+y,y= 都、变量分二方含 为了刚解(1.2.1),首先假设g(y)≠0,于、(1.2.1)何写成 9(0=f(x)dr, 这时,在方含中每几解项斜含有几解变量,这解不含称为变量“分二”.两边积 分即得隐式通解 g(y) =f(r)dr+c, (1.22) 这里及以后除非特殊情况我们把不定积分∫书Jfdx分别理解为 y书的几解(不带任意常数的)原线数.域们不几定、初等线数,族c、使 得(1.2)有意义的任意常数,例如方含=出工,经分二变量后积分何得 x2=2/sA+c;虽然右端不意用初等线数表示,但我们认为通解已经刚 出通如方含=—,这时(22)为y2=-x2+c,显然这时c斜意取非 负的任意实数.总曲,(1.22)就、(1.2.1)的通解 滑次,如果存在0使得g(3)=0,则经曲接验证即知y=30也、(1.2.1) 的解.这时如果在通解(122)中存在常数c=c0使得域包含了解y=90 则通解(1.2.2)就包含了(1.2.1)的几切解,积则(1.2.1)的解除了通解(1.22) 外,还应加上解v=30 例12.1刚解方含 osx,并刚满足初始条件y(0)=1的解 解显然y=0、几解解,当y≠0时,何分二变量得 dy 2= os dx,(设y≠0)

§1.2 %&W' bqb(r v3 {"#i{"#@u;r , (i `' . fg(rv3
<yo, =\EFGHI Z<tuv3J{M, 'cpq(r
v3 x y?oE FB+. B r\]s 1. \]r |}`Oqr6q dy dx = f(x)g(y) (1.2.1)  v3'\]r, XIf(x)  g(y)u ' x, y no"#. |q v3 y 0 = y 2 cos x, y 0 = ex+y , y 0 = p 1 + y 2 √ 1 − x 2  &uv3. 'MY (1.2.1), yzQR g(y) 6= 0, \ (1.2.1) Oqr dy g(y) = f(x)dx, ()< v3I=* V~y* &< (*23`' &“u”. )h@ usl,d' Z dy g(y) = Z f(x)dx + c, (1.2.2) (( k9DEuv|}j6@u Z dy g(y)  R f(x)dx u 9 ' y  x *(tt#)+"#. 0}6 "#, U c Q l (1.2.2) ytt#. |qv3 dy dx = sin x xy , u & @uOl y 2 = 2 Z sin x x dx + c; fgg
P{"#r, =|}u'' zY Z. -qv3 dy dx = − x y , () (1.2.2) ' y 2 = −x 2 + c, `g() c VP9 ZtE#. R, (1.2.2) $ (1.2.1) ' . X, q: y0 Ql g(y0) = 0, STM s{ y = y0 e (1.2.1) . ()q' (1.2.2) I:# c = c0 Ql0:~M y = y0, ' (1.2.2) $:~M (1.2.1) E , y (1.2.1) kM' (1.2.2) , x f y = y0. v 1.2.1 Y v3 dy dx = y 2 cos x, _Y78!k y(0) = 1 . * `g y = 0 * < m y 6= 0 ), Ou &l dy y 2 = cos xdx, (Ry 6= 0) 4

两边积分即得 sin +c y 因此通解为 y sIn tc 这里c为任意常数,但是无论c取怎样的常数值,都不会是解y=0,因而原 方程的一切解应由上述通解和特解y=0组成 为了求出初值问题的解,首先看出解y=0显然不满足初始条件,因此只 能在通解中去找为此在(1.23)中令x=0,y=1即得c=-1,于是所求初 值问题的解为y 1-sin z 例1.2.2求线性齐次方程 d= p(a)y (1.2.4) 的通解,其中p(x)为x的连续函数 解显然y=0是(1.2.4)的解.若y≠0.,方程两边乘以y-1,得 y dy= p(r)de, 两边积分得到隐式通解 In(y/c)=/p(r)dr, 其中c为非零的任意实常数,等式右边表示p(x)的任一个原函数.由对数性 质可化为显式通解 y=cexp p(a)d (1.2.5) 里及以后常用exp(t)来表示指数函数e.如果允许(1.2.5)中 (1.25)包含了特解y=0,因此(1.25)可以表示(12.4)的一切解,只要认为 其中c为任意实常数 对于微分形式的变量分离方程: f(a)g(y)dr +h(y)k(a)dy=0, 其中f(x),9(y),h(y),k(x)都是已知函数.k(x)9(y)≠0时,我们可以将方程 两边同除以k(x)9(y)来分离变量,得 f(a)dr h(y)dy k(x)9()0 两边积分得通解: f(er) h(y)dy k( g(y)

)h@usl − 1 y = sin x + c. 'c' ' y = − 1 sin x + c . (1.2.3) (( c 't#, = K c wX#+,  y = 0, 'U+ v3E f8' D y = 0 r. 'MYZ+GH , yzZ y = 0 `g78!k, 'cV P' IJL. 'c (1.2.3) I& x = 0, y = 1 sl c = −1, \ $Y +GH ' y = 1 1 − sin x . v 1.2.2 Y:;jv3 dy dx = p(x)y (1.2.4) ' , XI p(x) ' x no"#. * `g y = 0 (1.2.4) . @ y 6= 0, v3)h$ y −1 , l y −1dy = p(x)dx, )h@ulM,d' ln(y/c) = Z p(x)dx, XI c '9tE#, dghr p(x) *+"#. #; CO!'`d' y = c exp µZ p(x)dx ¶ . (1.2.5) (( { exp(t) ;r*#"# e t . q> (1.2.5) I c = 0<  (1.2.5) :~MD y = 0, 'c (1.2.5) Or (1.2.4) E , Vou' XI c 'tE#. \tu6d &uv3: f(x)g(y)dx + h(y)k(x)dy = 0, XI f(x), g(y), h(y), k(x)  z{"#. k(x)g(y) 6= 0 )< |}Obv3 )hWk k(x)g(y) ;u &< l f(x)dx k(x) + h(y)dy g(y) = 0. )h@ul' : Z f(x)dx k(x) + Z h(y)dy g(y) = c. 5

若首xo或3,使k(xo)=0或9(30)=0,常方程还首特是x=xo,或y=3o. 在微分形式的微分方程中没首规定哪一个是自变量,哪一个是未用函数 因此微分形式的方程的积分曲线是x,y平面上的曲线,它可能不是一个函数 的图像,如上题中的特是x=x0所不是一个都x因自变量的函数,而是一个 都y因自变量的函数.如变量分离方程 两边积分后得到的隐式是是x2+y2=c2>0,它的图像是半径因c>0,圆不在 原点的圆它要用两个显式许值函数来表示:y=±(c2-x2)1/2,x∈[-c,d 2.可化为变量分离的方任 1°我们称可如成形如 dr (1.2.6) 的方程因齐次方任因g因x,y的零次齐次函数而得名,里个齐次方程的对念 与前面线性齐次方程的对念不同,请不要混淆,齐次函数的定义及性质能习题 其中g(u)因a的连要函数.例如方程y=y/x+(y/x)2,y= +y2)dx+(xy-y2)dy=0离是齐次方程最后一个方程当y(y-x)≠0 两与方程,y=(x2+y2)/(y2-xy)是则价的 求是齐次方程的关键是对未用函数值无变量替换,亦即把函数∫的变量 x用一个新的未用函数u式替,所可将(126)化成变量分离方程.于是 (1.27) 设u因x的函数,于是 dy d dr dr (1.26)中然边的v/用式替后不式入(128)的左边即得 g(u)=u+r dr 里是一个变量分离方程,当g(u)-u≠0两,首为是 In(cr), 不量a=y/x可得原方程(12.6)的为是.里两若存在0使得9(u0)-0=0 常还首特是,y=0xx≠0 例1.2.3求是方程

@y x0 i y0, Q k(x0) = 0 i g(y0) = 0, v3xyD x = x0, i y = y0. tu6dtuv3I*y66* % & 0, 0 { qL' c > 0, [ +[. 0o{)*`d>+"#;r y = ±(c 2−x 2 ) 1/2 , x ∈ [−c, c]. 2. xa\]r` 1 ◦ |}`Oqr6q dy dx = g ³y x ´ (1.2.6) v3'yz(' g ' x, y j"#Uli, (*jv3 N)l:;jv3W, 1o-, j"#6;CPH ). XI g(u) ' u no"#. |qv3 y 0 = y/x + (y/x) 2 , y 0 = 2xy x 2 − y 2 , (x 2 + y 2 )dx + (xy − y 2 )dy = 0  jv3.  *v3m y(y − x) 6= 0 )Nv3, y 0 = (x 2 + y 2 )/(y 2 − xy) B. Y jv3c{ {"#+K &|}, ^sj"# f & y/x {*~{"# u d|, $Ob (1.2.6) !r &uv3. \ y = xu, (1.2.7) R u ' x "#, \ dy dx = u + x du dx ; (1.2.8) b (1.2.6) Igh y/x { u d| de (1.2.8) ￾hsl g(u) = u + x du dx ; cpZ du dx = g(u) − u x . ( * &uv3, m g(u) − u 6= 0 )< y' Z du g(u) − u = ln(cx), & u = y/x Ol+v3 (1.2.6) ' . ()@: u0 Ql g(u0)−u0 = 0, xyD , y = u0x x 6= 0. v 1.2.3 Y v3 dy dx = y x + tan y x . 6

解令y=xu,将此及y=+x′代入原方程得 u+ ta u+a 亦即 ru= tan a 当tanu≠0时,可化为关于未知函数siny的线性齐次方程 d sin u 1 由公式(1.25)得 sin u cexp 其中c为任意常数.把t=y/x代入得原方程的通解sin(y/x)=cr,还有特 解y=k丌,k∈Z,x≠0,是由tana=0得到 20如下线性分式方程 a12+b3y+a,吗2+B≠0, +by+C2 (1.2.9) 也可以利用变量替换化成变量分离方程,其中a1,a2,b1,b2,C1,C2均为常数 (i)当e1=e2=0时,将(1.29)右端的分子分母同除以x,即得(1.26) 形式的方程 (i)当a1=a2k,b=b2k时,则(1.2.9)可写成 dy k(a2: z +b29)+ f(a2.+b29); dr 于是令=a2x+b2y之后,原方程(1.2.9)成为 dy + dz=a2 +b2f(u) 在本书中,采用记号“=”和“=”,它们的含义是定义:A:=B表示“定义 然这是一个变量分离方程. 记号A为表达式B”.也可写成B=:A. (ii)当不是上述两种情形时,线性代数方程组 +b1y+c1=0, y tC2 存在唯一解x=a,y=.于是令 y=7+B ly dn a15+ bin d5a25+b27

& y = xu, bc y 0 = u + xu0 de+v3l u + tan u = u + xu0 , ^s xu0 = tan u. m tan u 6= 0 ), O!'c\{"# sin y :;jv3 d sin u dx = 1 x sin u, 7d (1.2.5) l sin u = c exp µZ dx x ¶ = cx. XI c 't#. j u = y/x del+v3' sin(y/x) = cx, xyD y = kπx, k ∈ Z, x 6= 0,  tan u = 0 lM. 2 ◦ qw" dy dx = a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 , a2 2 + b 2 2 6= 0, (1.2.9) eOY{ &|}!r &uv3, XI a1, a2, b1, b2, c1, c2 ]'#. (i) m c1 = c2 = 0 ), b (1.2.9) g
u}u￾Wk x, sl (1.2.6) 6dv3. (ii) m a1 = a2k, b1 = b2k ),  (1.2.9) Oqr dy dx = k(a2x + b2y) + c1 a2x + b2y + c2 =: f(a2x + b2y); \ & u = a2x + b2y R , +v3 (1.2.9) r' du dx = a2 + b2 dy dx = a2 + b2f(u), `g( * &uv3. I, +{Y- “:=”  “=:”, 0}~ 6: A := B r“6 Y- A 'r>d B”. eOqr B =: A. (iii) m f8)iu6), :;d#v3 ½ a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 :  x = α, y = β. \ & x = ξ + α, y = η + β, v3 (1.2.9) r' dy dx = dη dξ = a1ξ + b1η a2ξ + b2η , 7

这就是情况(i 此外,不难证明上述解题方法也适用于比(1.2.9)更一般的如下方程 +by+Cl +by+c2 3°其他情形下列方程的求解留给读者作为练习 f(ax+by+c),令 +by+c yf(ry)dz+ag(y)dy=0, u=ry dy d2=f(xy),令= d saf(y 令u=y/ M(, y(adr +ydy)+ N(a, y)(ady-yd r)=0, 其中M,N为x,y的次数可以不同的齐次函数,利用极坐标变换x=rcos6, y=rsinθ之后进行变量分离求解 例1.2.4求解方程 dy -y+1 dr a+y-3 (1.2.10) 解首先求出线性代数方程组 x-y+1=0, 的解x=1,y=2.然后令x=5+1,y=m+2;将此代入(12.10)得齐次方 dn5-m1-m/5 d5+n1+m/5 (1.2.11) 再令=5u,则(1.2.11)化成 1 1+a 进一步化为 +2 (1+u)5 凑微分得未知函数(2+2u-1)的线性齐次方程 心∴

($ uv (i). c, O f8 Hve
{\ (1.2.9) /dqwv3 dy dx = f µ a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 ¶ . 3 ◦  w!v3Y ' dy dx = f(ax + by + c), & u = ax + by + c; yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0, & u = xy; x 2 dy dx = f(xy), & u = xy; dy dx = xf ³ y x 2 ´ , & u = y/x2 ; M(x, y)(xdx + ydy) + N(x, y)(xdy − ydx) = 0, XI M, N ' x, y #OWj"#, Y{23 } x = r cos θ, y = r sin θ R +K &uY . v 1.2.4 Y v3 dy dx = x − y + 1 x + y − 3 . (1.2.10) * yzYZ:;d#v3 ½ x − y + 1 = 0, x + y − 3 = 0 x = 1, y = 2. g & x = ξ + 1, y = η + 2; bcde (1.2.10) ljv 3 dη dξ = ξ − η ξ + η = 1 − η/ξ 1 + η/ξ . (1.2.11) & η = ξu,  (1.2.11) !r u + ξ du dξ = 1 − u 1 + u +t!' du dξ = − u 2 + 2u − 1 (1 + u)ξ ; "tul{"# (u 2 + 2u − 1) :;jv3 d(u 2 + 2u − 1) dξ = −2 u 2 + 2u − 1 ξ , 8