第六章傅里叶变换 2021/224
2021/2/24 4 第六章 傅里叶变换
第六章傅里叶变换 >6.1傅里叶变换的概念 >62单位脉冲函数 >6.3傅里叶变换性质 本章小结 思考题 2021/224
2021/2/24 5 第六章 傅里叶变换 ➢6.1 傅里叶变换的概念 ➢6.2 单位脉冲函数 ➢6.3 傅里叶变换性质 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节傅立叶变换的概念 一、周期函数展为傅立叶级数的三角式 TT 设f()是以T为周期的函数,若在 上满足狄利克雷条件: (1)连续或只有有限个第一类间断点;(2)至多只有有限个极值点; 则f(1)在区T, 22可展开为傅立叶级数 三角形 式 l当为函数的连续点时/0=+a+bnm0-(0 2丌 其中O=T T f(t)dt TT r()cos notdt 2 fr(t)@ tdt, n=1, 2, 2.当为函数f1(t)的间断点时,(1)式左端为[f(+0)+f(t-0) 2021/224
2021/2/24 6 第一节 傅立叶变换的概念 ➢ 一、周期函数展为傅立叶级数的三角式 ( ) T 设 是以 为周期的函数， f t T [ , ] 2 2 T T 若在 上满足狄利克雷条件： − (1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多只有有限个极值点； ( ) [ , ] . 2 2 T T T 则 在区间 上可展开为傅立叶级数 f t − ( ) T 1.当 为函数 的连续点时， t f t 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 T n n n a f t a n t b n t = = + + 2 0 0 2 2 2 ( ) . T T T a f t dt T T − = = 其中 ， 2 0 2 2 ( ) cos T a f t n tdt n T T T − = 2 0 2 2 ( )sin , 1, 2, . T b f t n tdt n n T T T − = = 1 ( ) [ ( 0) ( 0)]. 2 T T T 2.当 为函数 的间断点时，(1)式左端为 t f t f t f t + + − 三角形 式
为应用方便,将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式: 利用欧拉公式, cos n Ot=(em+em0), sin t=-( e n)=j(eno' -e noo) 于是(式可化为: fT(0)=0+>(a,[(emao+e mb)1-bm nlo(e noot +∑ e.not a e Snoot f(t)di 2 2021/224
2021/2/24 7 为应用方便，将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式： 利用欧拉公式， 0 0 0 1 cos ( ), 2 jn t jn t n t e e − = +0 0 0 0 0 1 1 sin ( ) ( ) 2 2 jn t jn t jn t jn t n t e e j e e j − − = − = − − 于是 式可化为： (1) 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( [ ( )] [ ( )] 2 2 2 jn t jn t jn t jn t T n n n a j f t a e e b e e − − = = + + − − 0 0 0 1 ( ). 2 2 2 n n n n jn t jn t n a a jb a jb e e − = − + = + + 0 0 2 a 令c = 2 2 1 ( ) , T T T f t dt T − =
T T 令 C- fr(t)cos nootdt-j f(t)sin no,tdi f(t)[cosnoot-jsin not ]at T 7」2()e-mo,、m=123…) 同理: a+jb =2f()em,(n=123… 2 合成一个式子得:cn=「f1(mwah,(m=1,+2,±3…) T 2 no f(t)e n dt 指数形、 这样试可以写成:0)=0++c]。式 即:f()=∑cem,(n=0,±1±2,±3…)…(2) n=-00 上式称为傅氏级数的复指数形式 2021/224
2021/2/24 8 2 0 0 2 1 ( )[cos sin ] T T T f t n t j n t dt T − = − 2 n n n a jb c − 令 = 2 2 0 0 2 2 1 [ ( ) cos ( )sin ] T T T T T T f t n tdt j f t n tdt T − − = − 2 0 2 1 ( ) , ( 1, 2,3, ) T jn t T T f t e dt n T − − = = 2 0 2 1 ( ) ( 1, 2,3, ) 2 T n n jn t n T T a jb c f t e dt n T − − + = = = 同理： ， ， 合成一个式子得： 2 0 2 1 ( ) , ( 1, 2, 3, ) T jn t n T T c f t e dt n T − − = = 0 2 2 1 ( ) . n n n T j t n T T c f t e dt T = − − === 这样 式可以写成： (1) 0 1 ( ) [ ] n n j t j t T n n n f t c c e c e − − = = + + ( ) , ( 0, 1, 2, 3, ) (2) n j t T n n f t c e n + =− 即： = = 上式称为傅氏级数的复指数形式． 指数形 式
傅立叶级数的物理含义:由()式(0=5+2+m 令A C-+ n cOs sin e ,(n=1,2,…) 则,f()=4+∑ A, (cos 8, cos not-sina, sinn@ot) n=1 1(0)=4+∑4cos(mM+)(3)A为振幅,为相位 若/(表示信号,则上式说名,一个周期为7的信号可以分解为简谐波之 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频a的倍数换句话说, 信号()并不含有各种频率成分,而仅是一系列具有离散频率的谐波组成, 其中A反映了频率为m的谐波在f()中所占的份额,称为振幅; e则反映了频率为m的谐波沿着轴移动的大小,称为相位. 2021/224
2021/2/24 9 傅立叶级数的物理含义：由 式， (1) 0 0 , 2 a 令A = 2 2 , A a b n n n = + cos ,sin , ( 1, 2, ) n n n n n n a b n A A = = − = 0 0 0 1 ( ) (cos cos sin sin ) T n n n n f t A A n t n t = 则， = + − 0 0 1 ( ) cos( ) 3 T n n n f t A A n t = = + + （ ） ( ) T 若 表示信号， f t 则上式说名，一个周期为 的信号可以分解为简谐波之和. T 0 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数 . 换句话说， ( ) T 信号 并不含有各种频率成分， f t 而仅是一系列具有离散频率的谐波组成， 0 ( ) 其中 反映了频率为 的谐波在 中所占的份额， A n f t n T 称为振幅； n 0 则反映了频率为 的谐波沿着轴移动的大小，称为相位. n 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 T n n n a f t a n t b n t = = + + A n为振幅, n为相位
由(2)式,据c与及b关系可得:c=马-h=4(-2)=4 2(Cos 0+isin a.+ )=>m(cos(-0, )+isin(0 6=4,ag=从nHc√a+= 因此cn作为一个复数,其模与辐角正好反映了信号f()中频率为mo的 简谐波的振幅与相位,其中振幅A被平均分配到正负频率上,而负频 的出现则完全是为了数学表示的方便,它与正频率一起构成同一个简谐波 由此可见,仅有系数c就可以完全刻画信号的频率特性因此,称了 cn为周期函数f()的离散频谱,cn为离散振幅谱, argc为离散相位谱, 为了进一步明确e与频率m的对应关系,常常记F(mO)=cn 2021/224
2021/2/24 10 (2) n n n 由 式，据 与 及 关系可得： c a b 0 0 , arg arg , n n n c A c c = = − = − 1 | | | | ( 1, 2, ) 2 2 n n n n n A c c a b n = = + = = − 0 ( ) n T 因此 作为一个复数，其模与辐角正好反映了信号 中频率为 的 c f t n 简谐波的振幅与相位，其中振幅 被平均分配到正负频率上， A n 而负频率 的出现则完全是为了数学表示的方便，它与正频率一起构成同一个简谐波. ( ) . n T 由此可见，仅有系数 就可以完全刻画信号 的频率特性 c f t ( ) | | arg n T n n c f t c c 为周期函数 的离散频谱， 为离散振幅谱， 为离散相位谱， 因此，称 n 0 为了进一步明确 与频率 的对应关系，常常记 c n ( ) (cos sin ) 2 2 2 n n n n n n n n n n n a jb A a b A c j i A A − = = − = + 0 ( ) . F n c = n ( ) (cos( sin( )) 2 2 2 n n n n n n n n n n n a jb A a b A c j i A A − + = = + = − + − ）
例1.设函数/;().周期性矩形脉冲,在一个周期n内的表达式为 T ≤t< f()=E,2 ≤【<,求它的傅立叶级数的复指数形式 解: E fr(t)e ndt f r(tdt Edt 2 E.-1 fr(t)e Ee ondt= e e2i e aon e 2E E 2n元 SIn sin ,(0n=n0= ±1,± jTO 2 T n兀 →f(傅氏级数的复指数形式为:f()=+∑ E n=n丌 2021/224
2021/2/24 11 • 例1． ( ) T 设函数 为周期性矩形脉冲，在一个周期 内的表达式为 f t T 0, 2 2 ( ) , , 2 2 0, 2 2 T T t f t E t T t − = − − 求它的傅立叶级数的复指数形式. 解： 2 2 0 2 2 1 1 ( ) , T E c f t dt Edt T T T − − = = = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) [ ] n n n j t j t j t n T n E c f t e dt Ee dt e T T T j − − − − − − − = = = 0 2 2 1 ( ) n n n T j t n T T c f t e dt T = − − === 2 2 2 2 sin 2 2 n n j j n n n E j e e E jT j T − − = = 0 2 sin , ( , 1, 2, ) n E n n n n n T T = = = = ( ) T f t 傅氏级数的复指数形式为： 2 ( ) sin . n j t T T n E E n f t e T n T + =− = +
<t<0 例2.求以为周期的函数f() 2.0<t 的离散频谱和傅立叶级数的复指数形式 解:4=F(02=2(h 2dt=1. Cn=F(nao)=*f(t)e no dt 0,当n为偶数 (e 1) e n为奇数 函数/()傅立叶级数的复指数形式为:f()=1+∑ j(2n-l)ot 2n-1)丌 0 0 无意义,n=0,#2,±4, 振幅频谱为:F(m)Hcn=10.n=,±4…,相位频谱:agF(mo)=-,n=1,357 网z,”=士1+3 2021/224
2021/2/24 12 • 例2．求以 为周期的函数 T 0, 0 2 ( ) 2, 0 2 T T t f t T t − = 的离散频谱和傅立叶级数的复指数形式. 解： 2 2 0 0 2 1 1 (0) ( ) 2 1, T T T T c F f t dt dt T T − = = = = 2 2 0 0 0 0 2 1 2 ( ) ( ) T T jn t jn t n T T c F n f t e dt e dt T T − − − = = = 0 2 0, ( 1) ( 1) 2 , T jn jn n j j e e j n n n n − − = − = − = − 当 为偶数 当 为奇数 ( ) T 函数 傅立叶级数的复指数形式为： f t 0 2 (2 1) ( ) 1 (2 1) j n t T n j f t e n + − =− − = + − 0 1, 0 | ( ) | | | 0, 2, 4, 2 , 1, 3, n n F n c n n n = = = = = 振幅频谱为： ， 0 0, 0 , 0, 2, 4, arg ( ) , 1,3,5, 7 2 , 1, 3, 2 n n F n n n = = = − = = − − 无意义 相位频谱：
二、傅立叶积分与傅立叶变换 定理1傅立叶积分若函数f(1)在区间-∞,+∞内满足下列条件: (1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件; (2)在无限区间(-,+0)上绝对可积(即积分f(O)ldr收敛),则 当为函数f(连续点时,f() f() 2 dt e/odo…(4) 2丌 当为函数f(t)的间断点时, f(t+0)+f(t-0) f(t)e dte do 丌 上式(4)称为傅立叶积分公式的复指数形 式 2021/224
2021/2/24 13 ➢ 二、傅立叶积分与傅立叶变换 定理1 傅立叶积分 若函数 在区间 内满足下列条件： f t( ) ( , ) − + (1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件； (2) ( , ) | ( ) | ) f t dt + − 在无限区间 上绝对可积(即积分 收敛 ，则 − + 当 为函数 的连续点时， t f t( ) 1 ( ) [ ( ) ] 4 2 j t j t f t f t e dt e d + + − − − = （ ） 当 为函数 的间断点时， t f t( ) ( 0) ( 0) 1 [ ( ) ] 2 2 j t j t f t f t f t e dt e d + + − − − + + − = 上式(4)称为傅立叶积分公式的复指数形 式．