1、行列式 1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式; 2.代数余子式的性质: ①、A和a的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0 ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A 3.代数余子式和余子式的关系:M=(-1) A=(-1)M 4.设n行列式D n(n-1) 将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1=(-1)2D m- 将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2=(-1)2D; 将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3=D; 将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4=D; 5.行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积 ②、副对角行列式:副对角元素的乘积x(-1)2;积 ③、上、下三角行列式(=):主对角元素的乘 ④、和|:副对角元素的乘积×(-1)2 AC= OB ⑤、拉普拉斯展开式:BB C A A =(-1) ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6.对于n阶行列式,恒有:e-A=xn+-1s-,其中S为k阶主子式 7.证明|A=0的方法: ①、A=-| ②、反证法 ③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解 ④、利用秩,证明r(A)<n; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1.A是n阶可逆矩阵: ≠0(是非奇异矩阵) r(A=n(是满秩矩阵) A的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组Ax=0有非零解 b∈r,Ax=b总有唯一解 A与E等价 A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0 AA是正定矩阵;
1 1、行列式 1. n 行列式共有 2 n 个元素,展开后有 n! 项,可分解为 2 n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、 Aij 和 ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系: ( 1) ( 1) i j i j M A A M ij ij ij ij + + = − = − 4. 设 n 行列式 D : 将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D1 ,则 ( 1) 2 1 ( 1) n n D D − = − ; 将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ,所得行列式为 D2 ,则 ( 1) 2 2 ( 1) n n D D − = − ; 将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D3 ,则 D D 3 = ; 将 D 主副角线翻转后,所得行列式为 D4 ,则 D D 4 = ; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n− − ; ③、上、下三角行列式( = ◥ ◣ ):主对角元素的乘积; ④、 ◤ 和 ◢ :副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n− − ; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B = = 、 ( 1) C A O A m n A B B O B C = = − ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于 n 阶行列式 A ,恒有: 1 ( 1) n n k n k k k E A S − = − = + − ,其中 Sk 为 k 阶主子式; 7. 证明 A = 0 的方法: ①、 A A =− ; ②、反证法; ③、构造齐次方程组 Ax = 0 ,证明其有非零解; ④、利用秩,证明 r A n ( ) ; ⑤、证明 0 是其特征值; 2、矩阵 1. A 是 n 阶可逆矩阵: A 0 (是非奇异矩阵); r A n ( ) = (是满秩矩阵) A 的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组 Ax = 0 有非零解; n b R , Ax b = 总有唯一解; A 与 E 等价; A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; A 的特征值全不为 0; T A A 是正定矩阵;
分A的行(列)向量组是R的一组基 →A是R"中某两组基的过渡矩阵 2.对于n阶矩阵A:A=AA=|4E无条件恒成立 3.(A2)=(A) (4)-1 )=(A1) (AB)=BA (AB)=BA 4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆: 若 A 1、|A=|4|A4·4|: Ⅱ、A1 A (主对角分块) (副对角分块) ④.()1(6B) :(拉普拉斯 (拉普拉斯) -BCA B 3、矩阵的初等变换与线性方程组 个mxn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F: 等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵: 对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)分A-B 2.行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得 ②、每行首个非0元素必须为1 ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0 3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若(A,E)~(E,X),则A可逆,且X=A; ②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:(A,B)~(E,AB) ③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),则A可逆,且x=A"b 4.初等矩阵和对角矩阵的概念 )、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵
2 A 的行(列)向量组是 n R 的一组基; A 是 n R 中某两组基的过渡矩阵; 2. 对于 n 阶矩阵 A: * * AA A A A E = = 无条件恒成立; 3. 1 * * 1 1 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T A A A A A A − − − − = = = * * * 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T T T AB B A AB B A AB B A − − − = = = 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A、 B 可逆: 若 1 2 s A A A A = ,则: Ⅰ、 A A A A = 1 2 s ; Ⅱ、 1 1 1 1 2 1 s A A A A − − − − = ; ②、 1 1 1 A O A O O B O B − − − = ;(主对角分块) ③、 1 1 1 O A O B B O A O − − − = ;(副对角分块) ④、 1 1 1 1 1 A C A A CB O B O B − − − − − − = ;(拉普拉斯) ⑤、 1 1 1 1 1 A O A O C B B CA B − − − − − = − ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个 m n 矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的: r m n E O F O O = ; 等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵 A、 B ,若 r A r B A B ( ) ( ) = ; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非 0 元素必须为 1; ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若 ( , ) ( , ) r A E E X ,则 A 可逆,且 1 X A− = ; ②、对矩阵 ( , ) A B 做初等行变化,当 A 变为 E 时, B 就变成 1 A B− ,即: 1 ( , ) ( , ) c A B E A B− ; ③、求解线形方程组:对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b = ,如果 ( , ) ( , ) r A b E x ,则 A 可逆,且 1 x A b− = ; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
(11…1 ,左乘矩阵A,λ乘A的各行元素;右乘,乘A的各列元素 ③、对调两行或两列,符号ED),且ED=ED,例如:1 ④、倍乘某行或某列,符号E(i(k),且E(i(k)=E(i(),例如 k 、倍加某行或某列,符号E(k),且E((k)=E((-k),如:1 k≠ 5.矩阵秩的基本性质 ①、0≤r(An)≤min(m,n) r(A=r(A ③、若A-B,则r(A)=r(B) ④、若P、Q可逆,则r(4)=r(PA=r(4Q)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max(r(A)r(B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B);(※) ⑥、r(A+B)≤r(A)+r(B);(※) ⑦、r(AB)≤mn(r(A),r(B):(※) ⑧、如果A是mxn矩阵,B是nxs矩阵,且AB=0,则:(※) Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论) Ⅱ、r(4)+r(B)≤n ⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)≥r(A)+r(B)-n 6.三种特殊矩阵的方幂 ①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)×行矩阵(向量)的形式,再采用结合律 ②、型如01b的矩阵:利用二项展开式 00 二项展开式:(a+b)"=Cma"+Cn"b+…+Cma"b"+…+C"db"+C"b"=∑Cma"b 注:I、(a+b)"展开后有n+1项; (n-m+1) Ⅲ、组合的性质:Cm=Cn rC=nC ③、利用特征值和相似对角化: 7.伴随矩阵: r(A)=l ①、伴随矩阵的秩:r(A)= r(A)=n-1 r(A)<n-1
3 ②、 1 2 n = ,左乘矩阵 A, i 乘 A 的各行元素;右乘, i 乘 A 的各列元素; ③、对调两行或两列,符号 E i j ( , ) ,且 1 E i j E i j ( , ) ( , ) − = ,例如: 1 1 1 1 1 1 1 − = ; ④、倍乘某行或某列,符号 E i k ( ( )) ,且 1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )) k − = ,例如: 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k − = ; ⑤、倍加某行或某列,符号 E ij k ( ( )) ,且 1 E ij k E ij k ( ( )) ( ( )) − = − ,如: 1 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k − − = ; 5. 矩阵秩的基本性质: ①、 0 ( ) min( , ) m n r A m n ; ②、 ( ) ( ) T r A r A = ; ③、若 A B ,则 r A r B ( ) ( ) = ; ④、若 P 、 Q 可逆,则 r A r PA r AQ r PAQ ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、 max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( ) r A r B r A B r A r B + ;(※) ⑥、 r A B r A r B ( ) ( ) ( ) + + ;(※) ⑦、 r AB r A r B ( ) min( ( ), ( )) ;(※) ⑧、如果 A 是 m n 矩阵, B 是 n s 矩阵,且 AB = 0 ,则:(※) Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX = 0 解(转置运算后的结论); Ⅱ、 r A r B n ( ) ( ) + ⑨、若 A、 B 均为 n 阶方阵,则 r AB r A r B n ( ) ( ) ( ) + − ; 6. 三种特殊矩阵的方幂: ①、秩为 1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式,再采用结合律; ②、型如 1 0 1 0 0 1 a c b 的矩阵:利用二项展开式; 二项展开式: 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) n n n n m n m m n n n n m m n m n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b − − − − − = + = + + + + + + = ; 注:Ⅰ、 ( )n a b + 展开后有 n+1 项; Ⅱ、 0 ( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )! − − + = = = = − m n n n n n n n m n C C C m m n m Ⅲ、组合的性质: 1 1 1 1 0 2 − − − + − = = = + = = n m n m m m m r n r r n n n n n n n n r C C C C C C rC nC ; ③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: ①、伴随矩阵的秩: * ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 ( ) 1 n r A n r A r A n r A n = = = − − ;
②、伴随矩阵的特征值:AX=AX,A=A4A→AX=x) ③、A=|A442、4|=4 8关于A矩阵秩的描述: ①、r(A)=n,A中有n阶子式不为0,n+1阶子式全部为0;(两句话) ②、r(A)<n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)≥n,A中有n阶子式不为0 9.线性方程组:Ax=b,其中A为mxn矩阵,则: ①、m与方程的个数相同,即方程组Ax=b有m个方程 ②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax=b为n元方程 0.线性方程组Ax=b的求解 ①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换) ②、齐次解为对应齐次方程组的解 ③、特解:自由变量赋初值后求得 11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程 b a2x1+a2,x,+…+a,x=b m24,+ Ax=b(向量方程,A为mxn矩阵,m个方程,n个未知数) x2|=B(全部按列分块,其中B=/么 ④、a1x+a2x2+…+anxn=B(线性表出) ⑤、有解的充要条件:r(A)=r(A,B)≤n(n为未知数的个数或维数) 4、向量组的线性相关性 1.m个nm维列向量所组成的向量组A:a1,a1,…,an构成nxm矩阵A=(a,a2,…,an) B m个n维行向量所组成的向量组B:,g1,,E构成mxm矩阵B B 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 2.①、向量组的线性相关、无关Ax=0有、无非零解;(齐次线性方程组) ②、向量的线性表出 Ax=b是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示⊙AX=B是否有解;(矩阵方程) 3.矩阵An与Bn行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax=0和Bx=0同解;(Po1例14) 4.r(A1A=r(A);(Po1例15) 5.n维向量线性相关的几何意义 ①、a线性相关 a=0 ②、a,B线性相关→aB坐标成比例或共线(平行);
4 ②、伴随矩阵的特征值: * 1 * ( , ) A A AX X A A A A X X − = = = ; ③、 * 1 A A A− = 、 1 * n A A − = 8. 关于 A 矩阵秩的描述: ①、 r A n ( ) = , A 中有 n 阶子式不为 0, n+1 阶子式全部为 0;(两句话) ②、 r A n ( ) , A 中有 n 阶子式全部为 0; ③、 r A n ( ) , A 中有 n 阶子式不为 0; 9. 线性方程组: Ax b = ,其中 A 为 m n 矩阵,则: ①、 m 与方程的个数相同,即方程组 Ax b = 有 m 个方程; ②、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组 Ax b = 为 n 元方程; 10. 线性方程组 Ax b = 的求解: ①、对增广矩阵 B 进行初等行变换(只能使用初等行变换); ②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得; 11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程: ①、 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = ; ②、 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b = = (向量方程, A 为 m n 矩阵, m 个方程, n 个未知数) ③、 ( ) 1 2 1 2 n n x x a a a x = (全部按列分块,其中 1 2 n b b b = ); ④、 1 1 2 2 n n a x a x a x + + + = (线性表出) ⑤、有解的充要条件: r A r A n ( ) ( , ) = ( n 为未知数的个数或维数) 4、向量组的线性相关性 1. m 个 n 维列向量所组成的向量组 A: 1 2 , , , m 构成 n m 矩阵 1 2 ( , , , ) A = m ; m 个 n 维行向量所组成的向量组 B : 1 2 , , , T T T m 构成 m n 矩阵 1 2 T T T m B = ; 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. ①、向量组的线性相关、无关 = Ax 0 有、无非零解;(齐次线性方程组) ②、向量的线性表出 = Ax b 是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 = AX B 是否有解;(矩阵方程) 3. 矩阵 Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 同解;( P101 例 14) 4. ( ) ( ) T r A A r A = ;( P101 例 15) 5. n 维向量线性相关的几何意义: ①、 线性相关 = 0 ; ②、 , 线性相关 , 坐标成比例或共线(平行);
③、aB,y线性相关台→a,B.y共面 6.线性相关与无关的两套定理 若a,a2…,a线性相关,则a,a,…a,a,必线性相关 若a,a2…,a线性无关,则a1,a2…,a,1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成m维向量组B: 若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定 7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r≤s(二版P4定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(A4)≤r(B):(P3定理3) 向量组A能由向量组B线性表示 AX=B有解 台r(4)=r(AB)(P3定理2) 向量组A能由向量组B等价er(A4)=r(B)=r(A,B)(P5定理2推论) 8.方阵A可逆→存在有限个初等矩阵P,P2,…,P,使A=PP2…P; ①、矩阵行等价:A-BPA=B(左乘,P可逆)Ax=0与Bx=0同解 ②、矩阵列等价:A-BsAQ=B(右乘,Q可逆) ③、矩阵等价:A~BPAQ=B(P、Q可逆); 9.对于矩阵Ann与B: ①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等 ②、若A与B行等价,则Ax=0与Bx=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性: ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 ④、矩阵A的行秩等于列秩 10.若A,Bn=Cn,则: ①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵 ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,「为系数矩阵;(转置 11.齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明 ①、ABr=0只有零解→Bx=0只有零解 ②、Bx=0有非零解→ABx=0一定存在非零解; 12.设向量组Bn:b,b2…,b可由向量组A,a,a2…a,线性表示为:(P1题19结论) (b,b2…,b)=(a1,a2…,a,)K(B=AK) 其中K为sxr,且A线性无关,则B组线性无关er(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:∵r=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,r(K)=r;充分性:反证法) 注:当r=s时,K为方阵,可当作定理使用; 13.①、对矩阵A,存在Qm,AQ=En台r(4)=m、Q的列向量线性无关;(P3) ②、对矩阵An,存在Pn,PA=Ener(A)=n、P的行向量线性无关 14 线性相关 台存在一组不全为0的数k,k2…,k,使得ka1+ka2+…+k,∝1=0成立;(定义) 台(a1,a2…,a):=0有非零解,即Ax=0有非零解 台r(a,a2,…a,)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数 15.设mxn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=n-r; 16.若n为Ax=b的一个解,512…,E为Ax=0的一个基础解系,则n,51,52,…,n,线性无关;(P1题 33结论)
5 ③、 , , 线性相关 , , 共面; 6. 线性相关与无关的两套定理: 若 1 2 , , , s 线性相关,则 1 2 1 , , , , s s+ 必线性相关; 若 1 2 , , , s 线性无关,则 1 2 1 , , , s− 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r − 个分量,构成 n 维向量组 B : 若 A 线性无关,则 B 也线性无关;反之若 B 线性相关,则 A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7. 向量组 A (个数为 r )能由向量组 B (个数为 s )线性表示,且 A 线性无关,则 r s (二版 P74 定理 7); 向量组 A 能由向量组 B 线性表示,则 r A r B ( ) ( ) ;( P86 定理 3) 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 = AX B 有解; = r A r A B ( ) ( , ) ( P85 定理 2) 向量组 A 能由向量组 B 等价 = = r A r B r A B ( ) ( ) ( , ) ( P85 定理 2 推论) 8. 方阵 A 可逆 存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P Pl ,使 A P P P = 1 2 l ; ①、矩阵行等价: ~ r A B PA B = (左乘, P 可逆) = Ax 0 与 Bx = 0 同解 ②、矩阵列等价: ~ c A B AQ B = (右乘, Q 可逆); ③、矩阵等价: A B PAQ B ~ = ( P 、Q 可逆); 9. 对于矩阵 Am n 与 Bl n : ①、若 A 与 B 行等价,则 A 与 B 的行秩相等; ②、若 A 与 B 行等价,则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵 A 的行秩等于列秩; 10. 若 A B C m s s n m n = ,则: ①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示, B 为系数矩阵; ②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示, T A 为系数矩阵;(转置) 11. 齐次方程组 Bx = 0 的解一定是 ABx = 0 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、 ABx = 0 只有零解 = Bx 0 只有零解; ②、 Bx = 0 有非零解 = ABx 0 一定存在非零解; 12. 设向量组 1 2 : , , , B b b b n r r 可由向量组 1 2 : , , , A a a a n s s 线性表示为:( P110 题 19 结论) 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) r s b b b a a a K = ( B AK = ) 其中 K 为 s r ,且 A 线性无关,则 B 组线性无关 = r K r ( ) ;( B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性: r r B r AK r K r K r r K r = = = ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) ;充分性:反证法) 注:当 r s = 时, K 为方阵,可当作定理使用; 13. ①、对矩阵 Am n ,存在 Qn m , AQ E= m = r A m ( ) 、Q 的列向量线性无关;( P87 ) ②、对矩阵 Am n ,存在 Pn m , PA E= n = r A n ( ) 、 P 的行向量线性无关; 14. 1 2 , , , s 线性相关 存在一组不全为 0 的数 1 2 , , , s k k k ,使得 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 成立;(定义) 1 2 1 2 ( , , , ) 0 s s x x x = 有非零解,即 Ax = 0 有非零解; 1 2 ( , , , )s r s ,系数矩阵的秩小于未知数的个数; 15. 设 m n 的矩阵 A 的秩为 r ,则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩为: r S n r ( ) = − ; 16. 若 * 为 Ax b = 的一个解, 1 2 , , , n r − 为 Ax = 0 的一个基础解系,则 * 1 2 , , , , n r − 线性无关;( P111 题 33 结论)
5、相似矩阵和二次型 1.正交矩阵◇!A=E或A=A(定义),性质: ①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aa (i,j=1,2,…n); ②、若A为正交矩阵,则A=A也为正交阵,且|A=土1 ③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化: 施密特正交化:(a,a2…,a,) b b.=a-a,-1a,b-…-1b=21b [b1,b][b2,b2] 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交: 4.①、A与B等价分A经过初等变换得到B; 台PQ=B,P、Q可逆 分r(A)=r(B),A、B同型 ②、A与B合同→CAC=B,其中可逆 xAx与xBx有相同的正、负惯性指数 ③、A与B相似PAP=B 5.相似一定合同、合同未必相似 若C为正交矩阵,则CAC=B→A~B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格) 6.A为对称阵,则A为二次型矩阵 7.n元二次型xAx为正定 A的正惯性指数为n; 心A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CAC=E 台A的所有特征值均为正数 A的各阶顺序主子式均大于0; →an>04>0:(必要条件
6 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 T = A A E 或 1 T A A − = (定义),性质: ①、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即 1 ( , 1,2, ) 0 T i j i j a a i j n i j = = = ; ②、若 A 为正交矩阵,则 1 T A A − = 也为正交阵,且 A =1 ; ③、若 A、 B 正交阵,则 AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化: 1 2 ( , , , )r a a a 1 1 b a = ; 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a b b b = − 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b − − − − = − − − − ; 3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、 A 与 B 等价 A 经过初等变换得到 B ; = PAQ B , P 、Q 可逆; = r A r B ( ) ( ) , A、 B 同型; ②、 A 与 B 合同 = T C AC B ,其中可逆; T x Ax 与 T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、 A 与 B 相似 = −1 P AP B ; 5. 相似一定合同、合同未必相似; 若 C 为正交矩阵,则 T C AC B= A B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则 A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型 T x Ax 为正定: A 的正惯性指数为 n ; A 与 E 合同,即存在可逆矩阵 C ,使 T C AC E= ; A 的所有特征值均为正数; A 的各阶顺序主子式均大于 0; 0, 0 ii a A ;(必要条件)