第三型 元二次型的概念 二二次型的表示方法 三二次型的矩阵及秩 化二次型为标准形 五小结
n元二次型 1、定义 含有n个变量x,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,…,xn)=a1+2a12x1x2+…+201nx1Cn +2x2+22 +∴+2 2n2 +a3x3+…+2a3nX3Cn …+a.x 称为二次型 n1 n 或记为∫(x,x,…,x)=∑nx2+2∑ i;+2 注 lsi<i≤n ①当常数项为实数时,称为实二次型; ②当常数项为复数时,称为复二次型
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 1 2 , , , n x x x 2 22 2 23 2 3 2 2 2 2 n n + + + + a x a x x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x2 nn n + + a x 一、ｎ元二次型 1、定义 含有ｎ个变量 的二次齐次多项式 ① 称为二次型． 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x = 或记为 = + 注 ①当常数项为实数时，称为实二次型； ②当常数项为复数时，称为复二次型．
定义只含有平方项的二次型 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+a2x2+…+amnx2 称为二次型的标准形 定义特别地,称 f(a 2 15~29-n x1+…+xn一x P p+q (p+q≤n 为二次型的规范形 二、二次型的矩阵表示 f(x1,x2,…,xn)=11+a12x1x2+…+a1nx1 1、二次型 +a2121+ 22~2 2n2~n 十 的和式表示 2 X taax n 2~n2 C,十·+x nn n ∑∑
2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 i j n n ij i j a x x = = = 二、二次型的矩阵表示 定义 只含有平方项的二次型 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x x a x a x a x = + + + 称为二次型的标准形． 定义 特别地，称 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) n p p p q f x x x x x x x p q n = + + − − + + + 为二次型的规范形． １、二次型 的和式表示 ②
f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn 2、二次型 ta21x2rta22x2+.ta2nt2x 的矩阵表示 taX n a 2 x(n1x1+12x2+…+a1nxn +x2(a21+a2x2+…+a2n 十 xn(anx1+mn2x2+…+mxn 11 21 22 n n2 n
２、二次型 的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x = + + + x a x a x a x 1 11 1 12 2 1 ( n n ) + + + + x a x a x a x 2 21 1 22 2 2 ( n n ) + + + + + x a x a x a x n n n nn n ( 1 1 2 2 ) ( ) 11 11 11 1 21 22 2 2 1 2 1 2 n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = ③
11 21 22 n nI n2 nn 则二次型∫=XAX.其中矩阵A为对称矩阵 三、二次型的矩阵及秩 任一二次型f-对称矩阵A 对应 任一对称矩阵A-二次型f f称为对称矩阵A的二次型;A称为二次型f的矩阵; 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩 练习写出下列二次型的对称矩阵
11 11 11 21 22 2 1 2 n n n nn a a a a a a A a a a = 则二次型 ． T f X AX = 其中矩阵Ａ为对称矩阵. 令 1 2 n x x X x = 任一二次型ｆ 三、二次型的矩阵及秩 对称矩阵Ａ ⎯⎯→! 任一对称矩阵Ａ 二次型ｆ ⎯⎯→! 一一对应 ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型；Ａ称为二次型ｆ的矩阵； 对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩． 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例11)实数域R上的2元二次型f=ax2+2bxy+cy2 2)实数域上R的3元二次型 ∫(x1,x2,x3)=2x1+4x1x2+6x1x3+5x2+3x2x3+7x 3)复数域C上的4元二次型 f(x1,x2x3,x4)=ix1x2+√3x1x4+5x2+(3+i)x2x3 定义设A,B为n阶方阵,着存在n阶可逆阵P,使得 PAP=B,则称A合同于B记为A=B 性质④反身性 ②对称性}等价 ③传递性 ④合同矩阵具有相同的秩 ⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵
3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 2 f ax bxy cy = + + 2 2 2 2 , ) 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 f x x x x x x x x x x x x ( , 2 4 6 5 3 7 = + + + + + 2 ) 1 2 3 4 1 2 1 4 2 2 3 f x x x x ix x x x x i x x ( , , , 3 5 (3 ) = + + + + 例１ 1）实数域Ｒ上的２元二次型 2）实数域上Ｒ的３元二次型 定义 设Ａ,Ｂ为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵Ｐ，使得 , T P AP B= 则称Ａ合同于Ｂ,记为 A B. ①反身性 ②对称性 ③传递性 性质 ④合同矩阵具有相同的秩. ⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. 等价
四、化二次型为标准形 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的 线性变换,将二次型化为标准形 11小1 12 y2+…+C1my 设 21y1+C22y2+…+c2 ne n xn=Cny1+cny2+……+cmVn 记C=(),若c|≠0,则⑨称为非退化线性变换 记作x=Cy 将其代入∫=x7Ax有 f=x Ax=(ca(cy)=y(cac)y 注二次型经过非退化线性变换仍为二次型
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + 设 ( ), C c = ijx = Cy 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的 线性变换，将二次型化为标准形． 记 记作 T 将其代入 f x Ax = f x Ax T = y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = 有 若|C| ≠0，则④称为非退化线性变换． ④ 注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型．
定理l任给可逆矩陶C,令B=CAC,如果A为对称 矩阵则B也为对称矩阵且R(B)=R(4) 证明A为对称矩阵即有A=Ar,于是 B=C AC=CAC=C AC= B 即B为对称矩阵 .B=CAC, R(B)≤R(4C)≤R(A 又:A=(o)BC1,R(4)≤R(BC-)≤R(B) R A=RB)
证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T = R(B) R(AC) R(A), ( ) , 1 −1 − A = C BC 又 T ( ) ( ) ( ). 1 R A R BC R B − R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵
说明 1.二次型经可逆变换x=O后,其秩不变,但∫ 的矩阵由A变为B=CAC; 2.要使二次型经可逆变换x=O变成标准形, 就是要使 yC ACy=k1y1+k2y2+.+kny KI 2 15y2 kn八y 也就是要使C′AC成为对角矩阵
说明 2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + + k y 就是要使 2. 要使二次型f经可逆变换 x = Cy变成标准形, ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2 = y y y k k k y y y n n n 也就是要使C AC成为对角矩阵. T ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使PAP=A,即PAP=A把此结论应用于二次 型,有 定理2任给二次型∫=anx,x,(an=an)总有 正交变换x=Py,使∫化为标准形 ∫=λ1y2+2y2+…+ny2 其中λ1,2,…,是∫的矩阵4=(an)的特征值
型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 = = − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定 理 任给二次型 总 有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = = = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y ++ y , , , ( ) . 其中1 2 n是 f 的矩阵A = aij 的特征值
