第三行到式的性质 一行列式的性质 二应用 三小结
课前复习 D 11 12 142-122 21 22 12 13 2,+,、, D=la aa 112233 1223031下a 13“2132 21 22 23 132231 ,、, 112332 122133 31 32 33 12 In D 22 ∑ (P1P2…pn) I PI2 P2 n2 nn
11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 11 12 11 22 12 21 21 22 . a a D a a a a a a = = − 课前复习 ( 1 2 ) 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n n t p p p p p np n n nn a a a a a a D a a a a a a = = − 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a =
行列式的性质 记 n 1222 D 2 D n n2 n 2n 行列式D称为行列式的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 证明令D=det(a1 则D=e置行列式为D7=de() 按定义D=E(-1)anmn2…an=2(-1)ana2…am 故D=D
= T D nn a a a 22 11 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 21 n n 1 2 a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 令 det( ) D a = ij 则 D a = det 的转置行列式为 ( ij) det( ) T D a = ji 按定义 ( ) 1 2 1 2 1 n T t D a a a = − p p p n ( ) 1 2 1 2 1 n t p p np = − a a a 故 . T D = D
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证明设行列式D=∑(-1)an…am…am…am 其中1……j…m为标准排列 t为排列p1…p1…pn…pn的逆序数 e>r: D ∑(-)"an…amn…nv…am t仍然为排列1…P…P…Pn的逆序数 s为1…j…i…n的逆序数,易见为奇 于是D1=∑(-1)"an…am…am…am (-1)=-(-1) s+t 故D,=-D
于是 ( ) 1 1 1 1 i j n t s D a a a a p jp ip np + = − ( 1 1 , ) ( ) t s t + − = − − 1 故 D D = − . i j r r ( ) 1 1 1 1 i j n t s D a a a a p jp ip np + = − 1 i j n t 仍然为排列 p p p p 的逆序数 s 为 1 j i n 的逆序数，易见为奇， 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 1 1 ( 1) i j n t D a a a a = − p ip jp np 1 i j n t 为排列 p p p p 的逆序数 其中 1 i j n 为标准排列
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行 列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D, D=0. 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面 推论行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 k,等于用“桊以此行列式
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D = 0. D = −D, 请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 ｋ，等于用 乘以此行列式
性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和 12 1;+ n 例D= (a2+a21) n2 …:+a nl 则行列式等于下列两个行列式之和 li Lin D 21 21 2n n1
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = 则行列式等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例
性质5把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列行)对应的元素上去,行 列式不变 例如 21 an…(anz+ka) +kr:2 (a2+ka2) 2 n (anit kani)
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k 例如
应用举例 计算行列式常用方法:利用运算T+把行列式 化为上三角形行列式,从而算得行列式的值 例1103100204 199200395 301300600 1001002043100204 解n春 =200200395+-1200395 300300600 300600 310043100200 拆C3 0+-1200-5+-1200400 130001300600
例1 计算行列式常用方法：利用运算 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． i j r + kr 二、应用举例 103 100 204 199 200 395 301 300 600 解 1 c D 拆 100 100 204 200 200 395 300 300 600 3 100 204 1 200 395 1 300 600 + − 3 100 200 1 200 400 1 300 600 + − 3 0 c + 拆 3 100 4 1 200 5 1 300 0 − −
3100204 0+-1200395 1300600 拆C 310043100200 314 1200-5+-1200400100 100-12-5 130001300600 130 3-84 3-8 -3c 100-15-5 100-1 0 00 100·20=2000
3 100 204 1 200 395 1 300 600 − 3 100 200 1 200 400 1 300 600 + − = +0 3 100 4 1 200 5 1 300 0 − − 3 拆c 3 1 4 100 1 2 5 1 3 0 − − 2 100 c 3 8 4 100 1 5 5 1 0 0 − − − 2 1 c c − 3 3 8 4 100 1 5 0 1 0 0 − − − 3 2 c c + = 100 20 = 2000
例2 1x+1 11 x+1-1 解D 00 i=2,3,40x0 xxx +∑ i=1,2,30 00 000
例 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x − − − + − − − + − − 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x − −−−− 1 2,3,4 i r r D i − = 解 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0x x x x − 4 1,2,3i c c i += 4 = x
