第三章结与练习
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、n维向量 1、定义n个数a1,a2,…,an组成的有序数组 a=(a1a2…an) 称为一个n维向量,其中a称为第i个分量(坐标). n维向量写成一行称为行向量,记作a,B n维向量写成一列称为列向量,记作a,B 2、几种特殊向量 实向量,复向量,零向量,单位向量,向量同型, 向量相等. 3、矩阵与向量的关系 注意什么是向量的个数、什么是向量的维数,二 者必须分清
一、ｎ维向量 １、定义 ｎ个数 a a a 1 2 , , , n 组成的有序数组 = (a a a 1 2 n ) 称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量（坐标）. i a i , . T T ｎ维向量写成一行称为行向量，记作 ｎ维向量写成一列称为列向量，记作 , . ２、几种特殊向量 实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型， 向量相等. 注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二 者必须分清. ３、矩阵与向量的关系
4、向量的运算 向量的运算与采用矩阵的运算规律 5、向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所 组成的集合叫做向量组 6、向量空间 设V内n维非空向量组,且满足 ①对加法封闭fa∈V,B∈→a+B∈ ②对数乘封闭ja∈V,λ∈R→礼a∈V 那么就称集合V为向量空间
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组． ５、向量组 if V V V + , ; ６、向量空间 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 ②对数乘封闭 那么就称集合Ｖ为向量空间. if V R V , . ４、向量的运算 向量的运算与采用矩阵的运算规律
向量的线性相关性 1、基本概念 定义工给定向量组A:a1,a2,…a,,对于任何一组数 k,k2…,k,,称向量k1a1+k2a2+…+k,a,为向量组的 一个线性组合( Linear com6 nation) k,k2…,k,为组合的组合系数(Com6 ination Coefficient 定义江设向量组A:a1,a2…,a及向量关系 f=k1a1+k2a2+…+k 则f为向量组的一个线性组合,或称阿由向量组A 线性表示( Linearexpression) kk2…,k,称为β在该线性组合下的组合系数
二、向量的线性相关性 1、基本概念 1 2 : , , , 定义Ⅰ 给定向量组 A r ，对于任何一组数 1 2 , r k k k ， ， ，称向量 1 1 2 2 r r k k k + + + 为向量组的 一个线性组合（Linear Combination）. 1 2 , r k k k ， ， 为组合的组合系数（Combination Coefficient）. 1 2 : , , , 定义Ⅱ 设向量组 A r 及向量β有关系 1 1 2 2 r r = + + + k k k 则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ 线性表示（Linear Expression）. 1 2 , r k k k ， ， 称为β在该线性组合下的组合系数
定义Ⅲ设两向量组A:a1,a2,,B:B,月2,…,B 若向量组A中每一个向量皆可由向量组B线性表示 则称向量组A可以由向量组B线性表示 即存在矩阵K,3A=B,Kx 若两个向量组可以互相线性表示,则称这两向量组等价 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性 定义Ⅳ设n维向量组A:a1,a2,…,a,,如果存在不全 为零的数k,k2…k,,使得ka1+k2a2+…+k,ar=0, 则称向量组A:ax1,a2,…,x,线性相关( Cineardependent) 反之,若当且仅当k1k2=…=k1=0,才有 k1a1+k2a2+…+k,an=0,则称向量组A:a1,a2,…,a1 线性无关 Linear Independent)
定义Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2 : , , , : , , , . A B r s ， 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示， 则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示. 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. 1 2 : , , , 定义Ⅳ 设ｎ维向量组 A r 为零的数 1 2 , r k k k ， ， ，使得 1 1 2 2 r r k k k + + + = 0, 则称向量组 ，如果存在不全 1 2 : , , , A r 线性相关（Linear Dependent）. 反之，若当且仅当 1 2 0 r k k k = = = = ，才有 1 1 2 2 r r k k k + + + = 0,则称向量组 1 2 : , , , A r 线性无关（Linear Independent）. 即存在矩阵 , . K A B K s r r s s r =
三、向量组的秩 1、极大线性无关组 设a1,a2,…a是一个向量组,它的某一个部分组 0 i19wi22 ,ir 若满足 ①A4:a1,2;…,an线性无关 ②∨a(1≤j≤s),a,a1,a2,…,a线性相关 则称A4:cn,a12;…,an为A的一个极大线性无关组 2、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 记作:R(A)或R(an1a2
三、向量组的秩 １、极大线性无关组 ② ( ) 线性相关. 1 2 1 , , , , , i i ir j s 若满足： 设 1 2 , , , s 是一个向量组，它的某一个部分组 0 1 2 : , , , A i i ir ２、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ) 或 R( 1 2 s ) ① A0 1 2 : , , , i i ir 线性无关； 则称 为Ａ的一个极大线性无关组. 0 1 2 : , , , A i i ir
3、向量组的秩与短阵的秩的关系 In 定义矩阵A mI A的列向量组的秩称为列秩,记为:c(4) A的行向量组的秩称为行秩,记为:r(4 定理R(Amx)=c(a1…an)=r(an1…an) 结论训 xn ①彐D≠0,则D所在行(列)向量组线性无关 ②D.=0,则A的任r行(列)向量组线性相关 3D≠0,且含有D的Dn1=0,则R(4)=r
３、向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 1 , n n m m mn a a a a a a A a a a = Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为： Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为： r A( ). c A( ). 定理 ( ) ( 1 1 ) ( ) T T R A c r m n n m = = 结论 m n in A ① ，则 所在行（列）向量组线性无关. D r 0 D r ② 0 ，则Ａ的任ｒ行（列）向量组线性相关. = D r ③ 0，且含有 的 ，则 . D r D r 1 0 = D r+ R A r ( ) =
定理已知n维列向量组a1,a2,…,a,A=(a1 nXS 若对A施行初等行变换把A化为B=(BB2…月),则 向量组a,a…,a与,月…,(1≤<1<…<ins 有相同的线性关系 宫限相同的线性关系是指: ①R 2,n4,)= R(B1,B1,…,B ②a可以由a,a…,a1线性表示,对应的可以由 B,B2,B,线性表示,且表达式的系数对应相同 a1,a2,…,a、与月,B2,…,B,极大无关组相对应
定理 有相同的线性关系. 相同的线性关系是指： 已知ｎ维列向量组 1 2 , , , , s ( 1 2 ) , s n s A = 若对Ａ施行初等行变换把Ａ化为 ( 1 2 ) , s n s B = 则 向量组 1 2 1 2 , , , , , , p p i i i i i i 与 (1 i i i s 1 2 p ) ① R R ( i i i i i i 1 2 1 2 , , , , , , . p p ) = ( ) 1 2 , , , p i i i 线性表示，且表达式的系数对应相同. ② 1 2 , , , p i i i i 可以由 线性表示，对应的 i可以由 ③ 1 2 1 2 , , , , , , s s 与 极大无关组相对应
四、向量空间 定义设V是一个向量空间,它的某r个向量 a1,a2,…,c,若满足: ① 190255 a线性无关; ②Va,∈V,a,a1,a2…,a1线性相关 则称x1,a2,…,a,为V的一个基.r称为的维数 记作:dimV v中的任一向量均可以表示成基向量所的线性组合, 且表达式唯一,其组合系数称为向量在该基下的坐标
四、向量空间 定义 ② 线性相关. 1 2 , , , , , j j i V 若满足： 设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量 1 2 , , , r Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量所的线性组合， 记作：dimＶ. ① 1 2 , , , r 线性无关； 则称 为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数. 1 2 , , , r 且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标