同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第一章 函数与极限（1.10）连续函数性质

第一章 第十节 冈区间上连续品嶽的性质 最值定理 二、介值定理 三、一致连续性 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章

最值定理 定理1在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值. 即:设f(x)∈C[a,b],则彐5122∈[a,b,使 f(s=min f(r) a<x<b y y=f(x) f(s2)= max f(x) (证明略) o as b x 注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断 点,结论不一定成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x)  1  2 则 , [ , ],  1  2  a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  xb  = ( ) max ( ) 2 f f x a xb  = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如,y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如, x+1.0<x<1 f(x) 1,x=1 x+3.1<x<2 也无最大值和最小值 O HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例如, 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证:设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M= max f(x),m= min f(x) yt x∈[a,b] x∈[a,b y=f(x) 故x∈[a,b,有m≤f(x)≤M 因此f(x)在[a,b上有界 o a5 52 b 二、介值定理 定理2.(零点定理)f(x)∈C\a,byty=f(x 且f(a)f(b)<0 至少有一点 b ∈(a,b),使f()=0.(证明略) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

o b x y a y = f (x)  1  2 m M 推论. 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 x y o a b y = f (x)  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界

定理3.(介值定理)设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任数C,至少有 一点∈(a,b),使f()=C y=f(x) 证:作辅助函数 B p(x)=f(x)-c 则(x)∈C[a,b],且 b qp(a)y(b)=(4-C)(B-C)<0 故由零点定理知至少有一点∈(a,b)使9(5)=0, 即 f(5)=C 推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C  使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 个根 证:显然f(x)=x3-4x2+1∈C[0,,又 f(0)=1>0,f(1)=-20 则(,1)内必有方程的根 取[,1的中点x=,f()<0, 则(l3)内必有方程的根;…可用此法求近似根 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页下页返回结

例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x = ( ) 0, 8 1 2 1 f =  ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x = ( ) 0, 4 3 f  ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1  可用此法求近似根. 二分法 4 3 2 0 1 1 x + − + − 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则

例2.设∫(x)在[a,b上连续,且恒为正,证明 对任意的x1,x2∈(a,b),x0,F(x1)F(x2)<0 故由零点定理知,存在∈(x1,x2),使F()=0,即 f(5)=√f(x1)f(x2) HIGH EDUCATION PRESS 小结目录上页下页返回结

例2. 设 f (x) 在 上连续 , 且恒为正 , 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 ( ) ( ) 1 2 = − f x f x 2 1 2 [ f (x ) − f (x )]  0 故由零点定理知 , 存在 使 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束

三.一致连续性 已知函数∫(x)在区间I上连续,即 Vx0∈I,V>0,3δ>0,当x-x00,存在δ>0,对任意的 x1,x2∈I,当x1-x2<6时,都有f(x1)-f(x2)<, 则称f(x)在I上一致连续 显然:f(x)在区间I上一致连续 f(x)在区间I上连续 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页下页返回结束

*三. 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, , .  与 x0 都有关 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如,f(x)=1∈C(0,1],但不一致连续 因为VE>0(0E 这说明∫(x)=在(0,1]上不—致连续 定理.若f(x)∈Ca,b],则f(x)在{a,b上一致连续 思考:P73题6 (证明略) 提示:设f(a),f(b)存在,作辅助函数 f(a),x=a 显然 F(x)=f(x),a<x<b F(x)∈C[a,b f(b),x=b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如, 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理. 上一致连续. (证明略) 思考: P73 题 6 提示: 设 存在, 作辅助函数 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 设f(x)∈C[a,b,则 1.f(x)在[a,b]上有界 2.f(x)在[a,b上达到最大值与最小值 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值 4.当f(a)f(b)<0时,必存在ξ∈(a,b),使f()=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束