第二节 第三章 洛必达法则 型未定式 0 二、型未定式 ∞ 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限mf(0 或一型) 转化洛必达法则 导数之商的极限m2( g(r) 情必达,5,-F,de HIGH EDUCATION PRESS 08 下页返回结束
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
0型未定式 定理1. 1) lim f(x)=lim F(x)=0 r-a r->a 2)f(x)与F(x)在∪a)内可导,且F(x)≠0 3)lim f(x) 存在(或为∞) x→>a F E lim f(x) lim f(x x→>aF(x)x→>aF(x) 洛必达法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理条件:1)limf(x)=limF(x)=0 x→>a r-a 2)f(x)与F(x)在Ua)内可导,且F(x)≠0 )lim f(x) 3 x→>aF(x) 存在(或为∞) 证:无妨假设f(a)=F(a)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件,故 f(x)f(x)-f(a)f(2)(5在x,a之间) F(x F(x-F(a F() lim f(x)=lim f(5)3)lim/(x) x>a F(x) x> F(s x>aF(r) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = ( ) ( ) lim F f x a = → 3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
洛必达法则im=1m( x→a F(r) x→a F(x) 推论1.定理1中x>a换为 x→>a+,x→a-.x→∞,x->+00.x--0 之一,条件2)作相应的修改,定理1仍然成立 推论2.若1im/(x)仍属O型且/(x),F(x)满是定 F(x) 理1条件,则 xX lin f(x)=lim F(r) F(r) F"(r) HIGH EDUCATION PRESS 08 下页返回结束
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
3-3x+2 例1求m 型 r-13 x+1 解:原式=1m3x-3 x13x2-2x-1 6x lim x→16x-22 注意:不是未定式不能用洛必达法则 6x lim ≠im x->16x-2x-16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求加m2- arctan x 型 x→)+O 解:原式=lim X→)+∞ 型 lim lim x->+∞1+x x→>+0+/ 思考:如何求im2- arctan n为正整数)? n→> HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − → ( n 为正整数) ? 型 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、一型未定式 定理2. 1)limf(x)=liF(x)=∞ x→a x→a 2)f(x)与F(x)在∪(a)内可导,且F(x)≠0 3)1im)存在或为∞) x→>aF(x) f(x)=lim/(x) wF(x)xh(x)(洛必达法则 证:仅就极限lnf(x) 存在的情形加以证明 x-a F(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a = → (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,
1)1n(x)≠0的情形 型 x→a F(x) F(x) i F(r) X lim F F( m x→a X→>a x→a f(x) f2(x) f(x)F(x lim/(r))2 =1i0、F(x)f(x)」xNF(x)x>af(x) lir X→ 1= lim f(x). lim F(x) x→>aF(x)x→af(x) 从而1im(x) lim f'(x) x→a F(x) x-a F(x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
1) 0 ( ) ( ) lim → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x − ( ) ( ) 1 2 f x f x − = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 从而 型 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)lim f(x 0的情形.取常数k≠0 x>a F(x) lim( f(x)+k= lim f(x)+kF() xX→)a F(x) x→aF(x) lim f(x)+kF(x) k≠0,可用1)中结论 x→a F() lim/(x)+kF(x) lim f(x+k x→a F(x)x→LF'(x) lim (x)=lim f(x) x→>aF(x)x→xaF(x) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动 上页下页返回结味
2) 0 ( ) ( ) lim = → F x f x x a 的情形. 取常数 k 0 , = k 0, + → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → + = → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 可用 1) 中结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束