同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第二章 导数与微分（2.2）求导法则

第二节 第二章 函数的求导法则 一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

思路: f(x)=lnf(x+△x)-f(x) (构造性定义) △x→>0 △x 本节内容 求导法则 (C)=0 (sinx)=Cosx证明中利用了 nxy=1两个重要极限其它基本初等 X 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

思路: x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C )  (sin x )  (ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四则运算求导法则 定理1.函数u=l(x)及v=v(x)都在x具有导数 l(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母 为0的点外)都在点x可导,且 (1)[(x)±y(x)='(x)±y(x) (2)[v(x)v(x)='(x)v(x)+u(x)(x) (3)/(x)7(x)(x)-2(x)(x) v(x)≠0) v(X v2(x) 下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和 例题 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

一、四则运算求导法则 定理1. 函数u  u(x)及v  v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x) (2) [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x            下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1)(±y)=l'±y 证:设f(x)=(x)±y(x),则 f(x)=lim f(x+h)-f(x) h->0 lim Lu(x+h)v(x+h]-Lu(x)+v(x)I lin u(x+h)-u(x ±lin(x+h)-v(x h->0 h h->0 h l(x)±y(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形.例如 例如,(u+y-v)y=l'+v- HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v)  u   v  f (x)  u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0        h u x h u x h ( ) ( ) lim 0     h v x h v x h ( ) ( ) lim 0      u (x)  v (x) 故结论成立. 例如, (u  v  w)  u   v   w  机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如

(2)(uv=u'v+uv 证:设f(x)=1(x)(x),则有 f(x)=lim f(+h)-f(x) lim x+h)v(x+h)-u(xv(x) h→>0 h h→>0 h lim/u(x+h)-ulv(x+h)+u(rv(x+h)-v(x h l(x)v(x)+l(x)y(x)故结论成立 推论:1)(Cu)=Clr’(C为常数) 2)(uvw)=u'vw+uv'w+uvw nx 3)(loga x) na XIna 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

(2) (uv)  u  v  u v  证: 设 f (x)  u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0       u (x)v(x)  u(x)v (x) 故结论成立.        h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x  h)      h v(x) u(x) v(x  h) 推论: 1) (Cu )  2) (uvw)  Cu  u  vw  uv  w  uvw  3) (loga x )         a x ln ln x ln a 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例.y=√x(x23-4cosx-sin1),求y及y1x=1 解:y′=(x)(x32-4cosx-sin1) +√x(x3-4cosx-sin1 (x'-4 cos x-sin 1)+x(3x+4sin x) (1-4 1)+(3+sin 1) sin1-2 cos 1 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

例1. 解:  4sin x (1 2 1  sin1) ( 4cos sin1) , 3 y  x x  x  . 1   x 求 y 及 y y   ( x )  x  (  4cos  sin1)  2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y  x1   4cos1  (3  4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7    ( 4cos sin1) 3 x  x  ( 4cos sin1) 3 x  x   机动 目录 上页 下页 返回 结束

u (3)(-) uv=uy 证:设f(x) 则有 V(x u(+h)u( f(r)=lim f(x+h)-f(r lim v(+h h→>0 h→>0 h u(xth-u(x v(x=u(x) v(x+h)-v(x Im h h→>0 (x+h)v(x u(x)v(x)u(x)v(x) 故结论成立 推论 (C为常数) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

         ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h     h  u(x)v(x) (3)   2 v u v u v v u      证: 设 f (x)  则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h h lim 0  , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h   ( ) ( ) v x u x  h u(x  h)  u(x) v(x) h v(x  h)  u(x)  v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x  u x v  x  推论:   2 v C v v C     机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例2.求证(tanx)’=sec2x,(cscx)y=- cscx cot x 证:(tanx) sin x_(sin x)'cos x-sin x(cos x) cOSX cos x cos x +sin x sec x COS X (Sin x COSX CSC x SIn x SIn X Sin X cscx cot x 类似可证:(cotx)=-csc2x,(secx)’= secx tan x HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

(csc x)         sin x 1 x 2 sin   (sin x) x 2 sin  例2. 求证 (tan ) sec , 2 x   x 证: (csc x)  csc x cot x .          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x)cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec  cos x  csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x)  sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f1(y)的反函数,f(y)在 y的某邻域内单调可导,且[f(y)≠0 d ∫(x)= 或 I I d x d 证:在x处给增量△x≠0,由反函数的单调性知 △y=f(x+△x)-f(x)≠0 且由反函数的连续性知Ax→0时必有y→>0,因此 f(x)=1n△y=inA [f-(y) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束

f (x)  二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y  f x 为 x  f 1 y 的反函数 f 1 ( y) 在 [ ( )] 0 1    且 f y d d  x y 或 x  0, y  f (x  x)  f (x)  0,     x y y x   x  0时必有y  0, x y f x x      0 ( ) lim lim  0  y y x   y x d d  1 [ ( )] 1   f y 1 1 [ ( )] 1   f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求反三角函数及指数函数的导数 解:1)设y= arcsin x,则x=siny,y∈(-2) Cosy>0,则 arcsin x (siny)cosy√1 SIn y 利用 arccos 1=1 arccos arcsin x 类似可求得 (arctan x) arccot x 1+x 1+x 2 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

1  例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 y  arcsin x , 则 x  sin y , ) , 2 , 2 (   y   (arcsin x) (sin y) cos y 1  y 2 1 sin 1   2 1 1 x  类似可求得 (arccos x)  ? , 1 1 (arctan ) 2 x x    2 1 1 (arccot ) x x     2 1 1 x  x arcsin x 2 arccos    利用  cos y  0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束