第三节 第四章 分部积分法 由导数公式(n)='v+ny 积分得: uv=uvdx+luy'dx uv'dx=uv-lu'vdx 分部积分公式 或 udv=uv d 选取u及v(或dv)的原则 1)v容易求得; 2)jr比∫anvd容易计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第三节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章
例1求| xcos x dx 解:令〃=x,ν=C0Sx 则′=1,=sinx 原式=xsnx-| sinx dx sinx+cosx +o 思考:如何求 x sinx dx? 提示:令W=x2,v=sinx,则 原式=-x2cosx+2| xcos x dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2求 x Inxdx 解:令l=nx,v=x X 原式=1xm 2 xInx-=x+c 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3求| x arctanx dx 解:令u= arctan x,v'=x 则 1+x 原式=1,2 x arctan d入 +x x arctan 」J(-,、2)d -x arctanx-(x-arctan x)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4求|e sinx dx 解:令l=sinx,y=ex,则 L三coSx,V=已 原式= e sinx e cosx ax 再令u=C0sSx,v=e2,则 sInx. v三已 e sin x-e cos x-e sin x dx 故原式=e(sinx-COSx)+C 说明:也可设u=e,v为三角函数,但两次所设类型 必须一致 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解题技巧:选取u及ν的一般方法: 把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三” 顺序,前者为u后者为y 的反:反三角函数 例5求 arccos x dx 对对数函数 幂:幂函数 解:令= arccos x,v’=1,则 指:指数函数 三角函数 原式= narcos x+|nxd xarccos x ∫(-=x2)d = x arccos x-√1-x2+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v . 例5. 求 解: 令 u = arccos x, v =1 , 则 , 2 1 1 x u − = − v = x 原式 = x arccos x − + x x x d 2 1 = x arccos x (1 ) d(1 ) 2 2 2 1 2 1 − − − − x x = x arccos x− − x +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
例6求∫m2d cos X 解:令=nosx,y=-2,则 COS X u'=-tanx. v= tan x 原式= tanx In cos x+tan2xdx tanx Incos x+(sec-x-1)dx tan x In cos x +tanx-x+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例6. 求 解: 令 u = lncos x, x v 2 cos 1 = , 则 u = −tan x, v = tan x 原式 = tan x lncos x + tan x dx 2 = tan x lncos x + (sec x −1) dx 2 = tan x lncos x + tan x − x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.求 dx 解:令x=1,则x=12,dx=2tdt 原式=2tedt 令l e2-e)+ 2e(x-1)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例7. 求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + u = t , t v = e ) t − e +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令
例:求x2+a2d(a>0 解:令u=√x2+a2,v′=1,则n V=X x+a ta dx=x 2 x+a dx x+a x+a xx+a d x +a 2 dx xx+a ta dx t 原式=x√x2+a2+21n(x+x2+a2)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例8. 求 解: 令 , 2 2 u = x + a v =1, 则 , 2 2 x a x u + = v = x 2 2 x x + a + − x x a x d 2 2 2 2 2 = x x + a + + − − x x a x a a d 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 = x x + a − x + a dx 2 2 + + 2 2 2 d x a x a ∴ 原式 = 2 2 2 1 x x + a x x a C a + ln( + + ) + 2 2 2 2 + = x a dx 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx 例9求n=∫ 2 解:令u 1,则u x+a n+1 +2n dx n+1 x+a X +2n (x-+a x+a n+1 x+ X (x2+a2)+2 n/ 2na In 得递推公式ln+1 X 2n 2 2na(x+a" 2na HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例9. 求 解: 令 , ( ) 1 2 2 n x a u + = v =1, 则 , ( ) 2 2 2 +1 + − = n x a nx u v = x n I x x a x n n d ( ) 2 2 2 1 2 + + + n x a x ( ) 2 2 + = x x a n n d ( ) 2 2 2 +1 + + n x a x ( ) 2 2 + = n + 2n I 1 2 − 2 n+ na I 得递推公式 n n n I na n x a x na I 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 − + + + = 2 2 2 (x + a ) − a n x a x ( ) 2 2 + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
