第三节 第八章 全微分 一元函数y=f(x)的微分 △y=Ax+o(△x) dy=f'(x)△x 应用近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 *二、全微分在数值计算中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分
全微分的定义 定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z=AAx+BM+0(n),p=(△)2+(Ay)2 其中A,B不依赖于Ax,△y,仅与x,y有关,则称函数 f(xy)在点(x,y)可微,Vx+BV称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分,记作 dz=df= AAx+ bay 若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微
由微分定义 lim Az= lim[(AAx+BAy)+o(p)=0 ->0 △→>0 得1imf(x+△x,y+△y)=f(x,y △x->0 △y->0 即函数==f(x,y)在点(xy)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续← 函数可微 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0 = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x + + → → 由微分定义 : 得 z y x → → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即
定理1必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 则该函数在该点偏导数 az a 必存在且有 d △x+ 0p0 △ 证:由全增量公式Δz=AAx+BAy+o(p),令△y=0, 得到对x的偏增量 Ax2=f(x+△x,y)-f(x,y)=AAx+O(△x) lim xx->0△x 同样可证 B,因此有dz=×△x+△y y X HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z + d = x z 同样可证 B, y z = 证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x = →0 lim = A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意:定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微 反例:函数f(x,y)=11x3,x2+y2≠0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=/,(0,0)=0,但 △x△ Az-[x(0,0)Ax+/,(0,0)△y (Ax)2+(△y) △xΔ △x△ M)2+(△y)2/P(△x)2+(4y)20 ≠0()因此函数在点(0,0)不可微 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y] − x + y o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y + = 2 2 ( x) ( y) x y + = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 + + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2(充分条件若函数z=/(xy)的偏导数,0 OX 在点(x,y)连续,则函数在该点可微分 证:Az=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y) +[f(x,y+△y)-f(x,y) =fx(x+1△x,y+△y)Ax+f,(x,y+62y)Ay (00 △x->0 △y->0 △y->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
=[ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1 2 f x y x = [ x ( , ) + ] f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x
△z f(, y)Ax+f,(x,yAy+aAx+BA lim a=0, lim B=0 △x->0 △y→>0 △y→)0 注意到 a△x+B△ a+B,故有 Az=f(x, y)Ax+fy(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) + x + y 所以函数 + x + y 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 = → → y x lim 0, 0 0 = → → y x 注意到 , 故有 + o( )
推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如,三元函数u=f(x,y,2)的全微分为 du △x+ ze A ne ou +-△z 习惯上把自变量的增量用微分表示,于是 ou du dx+dy+dz Oy 记作dld,d dx u,dyu,d=l称为偏微分故有下述叠加原理 du=d u+d, u+d u HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
+ x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d + dz u 的全微分为 + y y u z z u 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u u u x y z d ,d ,d
例1.计算函数z=e在点(2,1)处的全微分 az 解 or e-y e xy Ox(2,1) y d edx+2e- d y=e(dx+2d y 例2.计算函数M=x+sim+e的全微分 #4: du=l dx+( cos)+zey)dy+yey2dz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: = x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z = = 例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + = y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束
兰二、全微分在数值计算中的应用 1.近似计算 由全微分定义 Az=f(, y)Ax+f,(x, y)Ay+olp) d 可知当△x及Ay较小时,有近似等式 Azadz=f(x, y)Ax+f,(,y)ay (可用于近似计算;,误差分析) f(x+Ax,y+△y)≈f(x,y)+fx(x,y)x+fy(x,y)A (可用于近似计算) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 z f (x, y) x f (x, y) y o() = x + y + f (x + x, y + y) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) 较小时, z z f x y x f x y y d = x ( , ) + y ( , ) d z 及 有近似等式: f (x, y) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)