第七节 第八章 方向导数与梯度 方向导数 二、梯度 三、物理意义 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度
方向导数 定义若函数f(x,y,=)在点P(x,y,z)处 P′ 沿方向l(方向角为a,B2y)存在下列极限 △f Im =limf(x+A,y+Ay,+A)-f(x,y,)记作Of ->0 O al p=√(△x)2+(△y)2+(△z) Ax= pcos a, Ay=pcos B, Az=p cos y 则称为函数在点P处沿方向l的方向导数 al HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
l P(x, y,z) 一、方向导数 定义: 若函数 f (x, y,z) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作
定理:若函数f(x,y,2)在点P(x,y,2)处可微, 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有 af af af cosa+cos B+cos y al ax P′ 其中a,B,y为的方向角 证明由函数f(x,y2)在点P可微,得P(x,y,=) △f af a f of △x+△y+△z+0() y of pO cos a cOS B+ az cosr)+o(p) 故 af=lim △f0f af cosa+ COS B cosy a pop ax y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 lim cos cos cos z f y f x f l f + + = 证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f + + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 故 cos cos cos z f y f x f + + =
对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向l(方向角 为a,B)的方向导数为 y aA= lim f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) 0lp>0 P f(x, y)cosa+f,(x, y)cos B X p=(△x)2+(△Ay)2,△x= p a,Ay= pcos B) 特别: 当/与x轴同向(a=0,B=2)时有f_0f al ax 当/与x轴反向(a=,B=2)时有_0f al ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 f (x, y), 为, ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方 ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → = f x (x, y)cos + f y (x, y)cos P l x y o x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = − l 向角
例1求函数=x2yz在点P(1,1,1)沿向量|=(2,-1 3)的方向导数 解:向量l的方向余弦为 cosC= cOS B cosy √14 14 /14 au xyz X 2 1 al t x y 14 √14 √14丿(1,1,1 6 √14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . = l P u 14 2 2xyz + 14 2 3 x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为
例.求函数z=3x2y-y2在点P2,3)沿曲线y=x2-1 朝κ增大方向的方向导数 解:将已知曲线用参数方程表示为 P xX三x 它在点P的切向量为(1,2x)x=2=( cos a COS B 0P/0. 4 M7+(3x2-2)7小(,35=57 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1 cos = 17 60 = o x y 2 P = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处 2 指向外侧的法向量,求函数u 6x2+8 在点P处沿 方向n的方向导数 解:n=(4x,6y,2z)P=2(2,3,1) 方向余弦为cosa coS B 14 14 cosy √14 6x 而 a-00 64 xpz6x2+8y2p√1 8 同理得 uyu √14 P 14 az p (6×2+8×3-14×1) an p 14 1—7 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos = 14 1 cos = 而 x P u = n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1 + − z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n = n
二、梯度 方向导数公式ofb/c500f af f cosβ3+cosy al ax 令向量G=/,f dx ay 0z I0 (cos a, cos B, cos n) al = Gcos(G, I 当10与G方向一致时,方向导数取最大值: af max al 这说明 方向:f变化率最大的方向 模:∫的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
二、梯度 方向导数公式 cos cos cos z f y f x f l f + + = 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = z f y f x f G , , (cos , cos , cos ) 0 l = , 当l 0 与G方向一致时 G : ( ) G l f = max
1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度( gradient 记作 grad f,即 grad f of of af 0f,0f;,0f DX 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 grad f f;0f;(0f0f X ox ay 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
1. 定义 grad f , 即 同样可定义二元函数 P(x, y) 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 = z f y f x f , , 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义
对函数二=f(xy),曲线{=x)在xy面上的投 影L:f(x,y)=C称为函数f的等值线 设fx,,不同时为零,则L上点P处的法向量为 (x,N)p=grad fp yI f=c3 同样,对应函数=f(x,y,z), 有等值面(等量面)f(x,y,z)=C 当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为 grade (设q1<C2<C3) 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) 指向函数增大的方向 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 在 xoy面上的投 z C z f x y = = ( , ) L : f (x, y) = C 影 * 称为函数 f 的等值线 . 设 , 不同时为零 , x y f f 则L *上点P 处的法向量为 x y P ( f , f ) P = grad f o y x 1 f = c 2 f = c 3 f = c ( ) 1 2 3 设c c c P 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 grad . P f 对函数 z = f (x, y), 指向函数增大的方向