第三节 第九章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章
三重积分的概念 引例:设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质密度函数为山(x,y2z)∈C求分布在g内的物质的 质量M 解决方法:类似二重积分解决问题的思想,采用 “大化小,常代变,近似和,求极限 可得 M=lim∑(5k,7k,5k)△Tk △v k → HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.设∫(x,y,z),(x,y,z)∈!,若对g作任意分割 vk(k=1,2,…,n)任意取点(k,m1k,5k)∈Avk下列 积和式”极限 乘 im∑f(5k,7k,k)△k 记作 f(, y, z)dv 存在则称此极限为函数f(x,y,)在g上的三重积分 d称为体积元素,在直角坐标系下常写作 dxdydz 性质:三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理设f(x,y,z)在有界闭域Ω上连续,V为2的 体积,则存在(,m,)∈Ω,使得 (x,y:)dv=/(5,n) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0,并将它看作某物体 的密度函数,通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1.投影法(先一后二 方法2.截面法(先二后一”) 方法3.三次积分法 最后,推广到一般可积函数的积分计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法1.投影法(“先一后二”) ∫=1(xy)≤≤=2(x,y) (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 (x,y) f(x,y, 2)dz dxdy 2三21(x 该物体的质量为 Jof(x,,2)dv dxd 2(x2y) f(xy2)=)dxdy「微元线密度 1(x,y) 记作 f(x,y, =)dxdy dxdy∫ 22(x,y (x,y) f(x, y, z)dz HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y D = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2.截面法(“先二后一”) )∈D a<zsb 以D为底,dz为高的柱形薄片质量为 /(x,y, 2)dxdy )dz y 该物体的质量为 面密度 f(x,y, 2)dz (o. f(x, y,2)dxdy)d 记作了b d D f(x, y, z)dxd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ( = b a DZ f (x, y,z)d xd y DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法3.三次积分法 1(x,y)≤z≤2(x,y) 设区域Ω (x, ED: 31(x)<ysy2(x) xsb 利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得: TL f(, 3, z)dv b (x dx d y1( f(r,y, z)d 1(x,y) 投影法 ∫(=J2dyJ,/(xyNd 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
投影法 方法3. 三次积分法 设区域 : 利用投影法结果 , a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z z x y 把二重积分化成二次积分即得: = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z ( ) ( ) 2 1 d y x y x y = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数在积分域上变号时,因为 f(x,y, 2) _(x,y,z)+f(x,y,2)|f(x,y,=)-f(x,y,z) =f1(x,y,z)-f2(x,y,z) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当被积函数在积分域上变号时, 因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结:三重积分的计算方法 方法1.“先一后二 (x,y) f(x,y, z)dv dxdy f(x, y, z)dz 方法2.“先二后一 ∫9c3d=d:JD(xd 方法3.“三次积分 h2(x,1-)d≈6 dx 2(x)dy!2(x,) 2(x,y) f(,y,z)d z 三种方法(包含1种形式各有特点,具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算三重积分 xdxdydz,其中g为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解:9:{0≤y≤(1-x) 0<x<1 xdxd ydz xdx (1-x)△yo ny az 0 Soxdxjoa-x-2y)dy (x-2x2+x3)dx= 4J0 48 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算三重积分 d d d , 其中 为三个坐标 x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: : xd xd y d z − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y −x− y z 1 2 0 d = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0 z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1 y − x 0 x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束