同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第二章 导数与微分（2.5）微分

第五节 第二章 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章

微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x变到x+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量Δx时,面积的增量为 △4=(xo+△x)2-x △x =2x0△x+(Ax)2 关于Ax的x→>0时为x0 A 线性主部高阶无穷小 故△4≈2x0Ax 称为函数在x0的微分 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义:若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+O(△x) (A为不依赖于x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而AAx称为f(x)在 点x的微分记作dy或df,即 dy=A△x 定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy= f(oAx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)△x 证:“必要性 已知y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+△x)-f(x0)=AAx+O(△x) △ lim 0(△x) lim(A+7)=A △x→>0△x△x→>0 △x 故y=f(x)在点xo的可导,且∫(x0)=A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理:函数y=f(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f(x0),即 dy=f(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x0的可导,则 △ im=f(o) △x→>0△x △ =f(o)+a( lim a=0) x 故△y=f(xo)△x+a△x=f(x0)△x+o(△x) 线性主部(f(x0)≠0时) 即dy=f(xo)△x 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明:4y=f(x)x+o(△x dy=f(xo)△x 当f(x0)≠0时, △y=m △ m Ax>0dyAx→0f(x0)Ax △ f(x0)△x>0△x 所以Ax→0时Δy与dy是等价无穷小,故当△x 很小时,有近似公式 △y≈d y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

说明: f (x0 )  0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x y y x d lim 0   → f x x y x    =  → ( ) lim 0 0 x y f x x    =  →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y  dy 与 是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分的几何意义—切线纵坐标的增量 dy=f(xo)Ax=tana△x d 当△x很小时,Ay≈dy yy=f(x) △ 当y=x时 记 △y=△x=dx 0 称Δx为自变量的微分,记作dx +△x 则有dy=f(x)dx 从而=f(x)导数也叫作微商 d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x)  0 x y = tan x dy 当 x 很小时, y  dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y =  导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如,y=x3 ay\x Bxdx 0.24 dx=0.02 dx=0.02 又如,y= arctan x dy dx 1+x 基本初等函数的微分公式(见P1表) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + = 基本初等函数的微分公式 (见 P115表) 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、微分运算法则 设(x),v(x)均可微,则 1.d(y)=dd2.d(C2)=Cdt(C为常数) 3. d(uv)=vdu+udv 4d() Ll、d-ldv v≠ 5.复合函数的微分 y=f(u),l=q(x)分别可微, 则复合函数y=[q(x)的微分为 dy=yx dx=f(u)o'(x)d: du dy= f(uda 微分形式不变 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.y=ln(1+ex),求dy 解:dy d(lte 1+e 1+e ex. 2xd 1+e exe 1+e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 求 解: 2 1 1 d x e y + = d(1 ) 2 x + e  + = 2 1 1 x e d ( ) 2 x e x x e x x 2 d 1 1 2 2   + = x e xe x x d 1 2 2 2 + = 2 x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束