习题倮 第五章 定积分及其相关问题 与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结
习题课 一、与定积分概念有关的问题的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法 定积分及其相关问题 第五章
与定积分概念有关的问题的解法 用定积分概念与性质求极限 2.用定积分性质估值 3.与变限积分有关的问题 例1.求lim xX已 dx n→)oJ0 1+e 解:因为x∈0,1]时,0≤≤x”,所以 1+ 0 dx≤|x"d 利用夹逼准则得inNN= 01+e X已 n→>O 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结
一、与定积分概念有关的问题的解法 1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 d . 1 lim 1 0 x e x e x n x n → + 解: 因为 时, x n x e x e + 1 0 所以 x e x e x n x d 1 1 0 + 0 x x n d 1 0 1 1 + = n 利用夹逼准则得 d 0 1 lim 1 0 = + → x e x e x n x n , n x
说明: 1)思考例1下列做法对吗? 利用积分中值定理 原式=im50 n-∞1+ 不对!因为依赖于n,且0≤5≤1 2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 如,P265题4 p xp X 1+x 1+xp ≤1(0≤x≤1) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
因为 依赖于 且 1) 思考例1下列做法对吗 ? 利用积分中值定理 原式 不对 ! n, 0 1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . p 1+ x 1 p p x x + = − 1 − 1 1 (0 x 1) p 1 x 如, P265 题4
sinsin 丌 Sin 例2求I=lim ∴… (考研98) n→>n+1n+ n+ 解:将数列适当放大和缩小,以简化成积分和 kT 1 Sin ∑: k丌 sin SIn n+1 nn n k=1 n n k=1 已知1im∑sin kT 1 sinzxax Im nn n+1 利用夹逼准则可知Ⅰ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： + = n k k n k n 1 1 sin 已知 , 2 sin d 1 lim sin 1 1 0 = = = → x x n n k n k n 利用夹逼准则可知 . 2 I = = + n k n n k n n 1 1 sin 1 = n k n n k 1 1 sin (考研98 ) 1 1 lim = → n + n n 例2. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束
丌 SIn SIn n丌 (n+1)x 思考:J=1im sIn ∴ ? n->n+ n+ n+ 提示由上题 I-I sin sip 2z sin nT2 n→)on+1n+ n+ 丌 故J=I-lim SIn sIn (n+1)x - n+ lim n→>∞n+1n→>∞nxn+1 0+0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
思考: 提示:由上题 1 sin lim + = − → n J I n n 1 1 ( 1) sin + + + + n n n n 1 1 ( 1) sin lim + + → + + n n n n n 2 = 2 − 0 + 0 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故
练习:1.求极限lim( n→>∞n2+1n2+2 n2 n 解:原式=1mS1 dx nn1+(n)2101+x 4 n 2n 2n 2n 2.求极限im( ∴ n→>n+1n+ n+ 提示:lim n→>n+1 ∑2≤原式≤lm22n n- on i= 左边=1im∑27 2dx= 右边 0n+ In 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
练习: 1.求极限 ). 1 2 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n n n n + + + + + → + 解：原式 n n 1 lim → = = + n i n i 1 2 1 ( ) 1 x x d 1 1 1 0 2 + = 4 = 2. 求极限 ). 2 2 1 2 lim ( 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n + + + + + → + 提示： 原式 n n 1 lim → = n i n i 1 2 1 lim + = → n n n = n i n i 1 2 x x 2 d 1 0 = 1 1 lim n→ n + = n i n i 1 2 左边 = 右边 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.估计下列积分值 0√/4-x2+x 解:因为≤ √4√4-x2+x3-√4 x∈[0,1] d dx dx 0 4-x2+x 即 4-x2+x 6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 估计下列积分值 解: 因为 4 1 , 4 1 2 − x ∴ dx 2 11 0 x x d 4 1 1 0 2 − 即 2 1 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.证明 dxs 2e 0 证:令f(x)=e,则f(x)=(2x-1)ex 令∫(x)=0,得x 1(0)=1,f()=,f(2)=e min f(x)= [0,2 e, max f(x)=e2 故 ≤[ex-xdx≤2e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 证明 证: 令 则 令 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设f(x)在[0,1上是单调递减的连续函数试证 明对于任何q∈[0】]都有不等式 ∫0/()dx2o/(dx 证明:显然q=0,q=1时结论成立当0<q<1时 f(x)dx-qf(x)dx -9)」/(dx-9g(odx(用积分中值定理 (1-q)q·f(51)-q·(1-q)·f(2) [0,2g 52∈[q,1 =q(1-q)f(51)-f(22)≥0 故所给不等式成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 设 在 上是单调递减的连续函数，试证 q0,1 都有不等式 证明：显然 q = 0,q =1 时结论成立. (用积分中值定理) ( ) 1 q f (1 ) ( ) 2 − q f 当 0 q 1 时, 故所给不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何
例6.已知f(x)在x>0处连续,f(1)=3,且由方程 x f(tdt=x, f(o)dt+y f(t)d t 确定y是x的函数,求f(x) 解:方程两端对x求导,得 f(ry).(y+xy)= f(t)dt+xf(y).y +yJ/(di+yf( 令x=1,得f(y)y=f()dt+yf() 再对y求导得∫(y)=f(1) f()=3In y+c 令y=1,得C=3,故f(x)=3lnx+3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例6. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 令 y =1, 得C = 3, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故