第一节 第五章 定积分的欐念及性质 定积分问题举例 定积分的定义 定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東
第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五章
定积分问题举例 h 矩形面积=ah 梯形面积=(a+b) a b 1.曲边梯形的面积 h 设曲边梯形是由连续曲线y↑ y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0 及x轴,以及两直线x=a,x=b 所围成,求其面积A X b HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y f (x) ( f (x) 0) 及 x轴,以及两直线 x a, x b 所围成 , 求其面积 A . A ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y f (x) 矩形面积 a h a h a h 梯形面积 ( ) b 2 a b h
解决步骤: 1)大化小.在区间[a,b中任意插入n-1个分点 a=xo <x1<x2< .<xn-1<xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取;∈[x-1,x; 作以[x1,x;为底,f(;) 为高的小矩形,并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△41,得 o a X bx A1≈f(51)Ax;(Ax;=x1-x1-1,i=1,2…,n) 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
1x i x i1 a x b x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b 0 1 2 n1 n [ , ] i i 1 i x x 用直线 i x x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以[ , ] i 1 i x x 为底 , ( ) i f 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , Ai 得 ( ) ( ) i i i i i i1 A f x x x x , i 1,2,,n ) i 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)近似和 A=∑△1≈∑f()Ax i=1 4)取极限.令λ=max{4x;},则曲边梯形面积 1△A ->0 i∑f()Ax ->0 o a x1 xi-lxi bx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東
3) 近似和. n i A Ai 1 n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 max{ }, 1 i i n x 则曲边梯形面积 n i A Ai 1 0 lim n i i i f x 1 0 lim ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b x y o 1x i x i1 x i
2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)∈C[G1,2],且 v(t)≥0,求在运动时间内物体所经过的路程s 解决步骤 1)大化小.在[7,72]中任意插入n-1个分点,将它分成 n个小段[1-1,t;](i=1,2,…,m),在每个小段上物体经 过的路程为△s;(i=1,2,…,n) 2)常代变.任取5∈[1,(],以v(5)代替变速,得 △S;≈v(5;A(i=1,2,…,n) HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, ( ) [ , ], C T1 T2 v v t 且 v(t) 0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. [ , ], i i 1 i t t 任取 将它分成 [ , ]( 1, 2, , ), 1 t t i n i i 在每个小段上物体经 2) 常代变. 以 ( )代替变速 , i v 得 i i i s v( )t [ , ] 1 , 在 T1 T2 中任意插入 n 个分点 s (i 1, 2, , n) i (i 1, 2,,n) 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 过的路程为
3)近似和 s≈∑v()△t 4)取极限 s=lim∑v(;)△t(x=max△1) 1->0 k<isn 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 4大化小,常代变,近似和,取极限” 所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
3) 近似和. i n i i s v t 1 ( ) 4) 取极限 . i n i i s v t 1 0 lim ( ) ( max ) 1 i i n t 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、定积分定义(P5) 设函数f(x)定义在[a,b上,若对[a,b]的任一种分法 a=x00时∑f(5)△x 1<ⅸ<n 总趋于确定的极限Ⅰ,则称此极限I为函数f(x)在区间 ab上的定积分记作(x)dx a XI xi b 甲f(x)dx=lim∑f(51)△x 1-)0 此时称f(x)在[a,b]上可积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结東
o a b x 二、定积分定义 ( P225 ) 设函数 f (x)定义在[a,b]上, 若对[a, b]的任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b n , i i i1 令 x x x 任取 [ , ] , i i i1 x x i 只要 max{ } 0时 1 i i n x i n i i f x 1 ( ) 总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分, 1 x i x i1 x b a f (x)dx 即 b a f (x)dx i n i i f x 1 0 lim ( ) 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
积分上限[a,b]称为积分区间 f(x)dx=lim∑f(5)△x →>0 积分下限被 被积 积函数 积表达式 分 变 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分 变量用什么字母表示无关,即 b b b f(x)dx=,f(dt= f(u)d 学 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
b a f (x)dx i n i i f x 1 0 lim ( ) 积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a, b] 称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 b a f (x)dx b a f (t)d t b a f (u)d u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定积分的几何意义 f(x)>0,f(x)dx=A曲边梯形面积 f(x)<0,Jf(x)dx=-4曲边梯形面积的负值 y A5 b ∫/(x)dx=41-42+43-4+4s 各部分面积的代数和 HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束
定积分的几何意义: f x f x x A b a ( ) 0, ( )d 曲边梯形面积 b a f (x) 0, f (x)dx 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x)d x A A A A A b a 各部分面积的代数和 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束