第三节 第六章 定积分在物理学上的应用 变力沿直线所作的功 液体的侧压力 三、引力问题 四、转动惯量(补充 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 第六章
变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到 x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 在{a,b上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元 素为 dw= F(x)dx xx+dxb 因此变力F(x)在区间a,b上所作的功为 w= F(xd HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 = b a W F(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.在一个带+q电荷所产生的电场作用下,一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功 解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为 f=k q t g +1 则功的元素为dW=kdr rr+dr b r 所求功为m、 badr=kq 11b kq( a b 说明:电场在r=a处的电势为」。kq kc HIGH EDUCATION PRESS 0 机动 上页下页返回结
例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a r r + dr b r +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为 = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下
例2.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 体,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从 点a处移动到点b处(如图),求移动过程中气体压力所 作的功 解:建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 kk p与体积V成反比,即P 故作用在活塞上的 力为 F=pSk b 功元素为dW=Fdx=dx o a xx+dx b x 所求功为=∫dx=k[n]2=klna HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结束
S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功? 解:建立坐标系如图.在任一小区间 x,x+dx]上的一薄层水的重力为 g·p·z32dx(KN) 5m 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 x +d x dw=gig pxdx 3m 故所求功为 9T gpxdx=gT gp 设水的密 20 度为p =112.5丌gP(KJ) HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结束
例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x, x + dx] 上的一薄层水的重力为 g 3 dx 2 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g x dx 故所求功为 = 5 0 W 9 g x d x = 9 g 2 2 x =112.5 g ( KJ ) 设水的密 度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m
三、液体侧压力 设液体密度为p 深为h处的压强:p=gPh 当平板与水面平行时, h 平板一侧所受的压力为 P=DA 当平板不与水面平行时, 面积为A的平板 所受侧压力问题就需用积分解决 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: p = g h 当平板与水面平行时, h P = p A 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为 • •
例4.一水平横放的半径为R的圆桶内盛半桶密度为 ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力 解:建立坐标系如图.所论半圆的 方程为 y=土√R2-x2(0≤x≤R 利用对称性,侧压力元素 dp=2gpxr2-x2dx 端面所受侧压力为 Ox=xR Ix+dx 10-51 x-d gpR X HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
小窄条上各点的压强 p g x 3 3 2g R = 例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 (0 x R) 利用对称性 , 侧压力元素 = R P 0 2g x R x dx 2 2 − o x y R x x + d x 2 2 dP = 2 R − x g x 端面所受侧压力为 dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为gρ(R+x) 侧压力元素dP=2gp(R+x)R2-x2dx 故端面所受侧压力为 R P 2gp(R+x)√R2 X R R 奇函数 +dx 4R gp R-x dx R 令x= Sent(P30公式67) R ARgPlR-x'+.arcsin x IR R10 IgP R 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
0 arcsin 2 2 4 g 2 2 2 R R R x R x x = R − + 2 d , 2 2 R − x x 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g (R + x), 侧压力元素 dP = 故端面所受侧压力为 奇函数 3 = g R g (R + x) = − R R R x x 0 2 2 4 g d 令 x = Rsint ( P350 公式67 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y R x x + d x
三、引力问题 质量分别为m1,m2的质点,相距r 二者间的引力 大小:F=k 111 方向:沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结
三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , m1 m2 r 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设有一长度为,线密度为μ的均匀细直棒,在 其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,试计算 该棒对质点的引力 解:建立坐标系如图.细棒上小段 dF [x,x+如x]对质点的引力大小为 d Fy dF=k mud dF a +x 故垂直分力元素为 xx+dx O X d f.=-df cos a - k mu dx dx -kua a+x +x HIGH EDUCATION PRESS 0∞ 机动目录上页下页返回结束
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, M 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. y 2 l 2 l − [x, x + dx] 细棒上小段 对质点的引力大小为 d F = k m dx 2 2 a + x 故垂直分力元素为 d Fy = −dF cos a + = − 2 2 d a x m x k 2 2 a x a + 2 3 ( ) d 2 2 a x x km a + = − a o x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 试计算 d F d Fx d Fy x + d x
