第八章 第二节 偏导数 偏导数概念及其计算 高阶偏导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第八章
偏导数定义及其计算法 引例:研究弦在点x处的振动速度与加速度,就是 将振幅v(x,1)中的x定于x处求(x0,1)关于t的 一阶导数与二阶导数 u(xo, t) O 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅
定义1.设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内 极限 lim /(xo+Ax, o)-(xo yo) △→>0 △x 存在则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x02y)对x 的偏导数,记为 Ox(o, yo)ax(o, yo) x0,y0 f(xo, yo);f(o, yo) 注意:f(x2)=1imf(x+Ax,1)f(x,yo) △x→>0 △ f(x,yo) dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 fy o f(x02y+2y)-f(x0,y0) 0,y0 m △y→>0 △ d d f(xo, y) 0 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称为 偏导数,记为C2 f f(x,y),fi(x, y) x ax fy(x,y), f2(x,y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如,三元函数u=f(x,y,2)在点(x,y,z)处对x的 偏导数定义为 f(, y, z) f(x+Ax, y,z)-f(x,y, 2) △ f,(x,y,z)=? (请自己写出) f2(x,y,z)=? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)
二元函数偏导数的几何意义: f(x,yo ax y=y d X=xo 是曲线{=/(x)在点M处的切线 0 M07x对x轴的斜率 y f d X=X f(xo, y d V=yo 0 是曲线2=f(x.y)在点M处的切线M7对y轴的 X =X 斜率 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的
注意:函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续 例如,z=f(x,y) x2+,2,x2+y2≠0 0 +y2=0 显然f(0,0)=2f(x,0 x=0 0 dx d f,(0,0)=;f(0,y) d y=0=0 在上节已证f(x,y)在点(0,0并不连续! HIGH EDUCATION PRESS 08 上节例目录 下页返回结束
函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, + = + = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例1.求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 az 解法1: ax 2x+3y, 3x+2 y 2 2·1+3.2=8 3·1+2.2=7 2) 解法2:=1y=2=x2+6x+4 (,2) (2x+6 Ox 1=1+3y+y az 3(1,2)(3+2y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1 . 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1: = x z x (1,2) z 解法2: x (1, 2) z 在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z 2x + 3y , = y z 3x + 2y y (1,2) z 6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.设z=xy(x>0,且x≠D,求证 x az 1 az 2 yax Inx oy z 让: r nx y x a .+x 2 yax Inx oy 例3.求r=x2+y2+z2的偏导数,(P4例) ar 2x 解 0x2 ar ar 2 y az r HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 设 z = x y ( x 0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1 = + 证: y z x x z y x + ln 1 例3. 求 的偏导数 . (P14 例4) 解: = x r 求证 = 2z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.已知理想气体的状态方程p=RT(R为常数) 求证 av or ap 证:p RT ap RT 说明:此例表明, rt aV R 偏导数记号是一个 aT p 整体记号不能看作 OT V 分子与分母的商! r ap R dp a or Rl aV aT pp 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1 p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = = p T T V V p 说明: (R 为常数) , = V p 2 V RT − = T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号