第八节 第八章 多元画飘的嘏值及其起店 多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值 定义:若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x0,y0)(或∫(x,y)≥f(xo2y0)) 则称函数在该点取得极大值(极小值)极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 例如 z=3x2+4y2在点(00)有极小值 2=x2+y2在点(0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x,y0)存在 偏导数,且在该点取得极值,则有 fx(xo,y0)=0,/y(x0,y0)=0 证:因z=f(x,y)在点(x,y)取得极值,故 z=f(x,yo)在x=x0取得极值 z=f(xo,y)在y=y取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明:使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如,z=xy有驻点(0,0)但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2(充分条件)若函数=f(x,y)在点(x02y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 fx(x0,0)=0,/y(x0,y0)=0 7 A=fxx(0, yo),B=fxy(xo, yo), C=fyy(xo, yo A0时,具有极值 A>0时取极小值 )当AC-B2<0时,没有极值 3)当AC-B2=0时不能确定,需另行讨论 证明见第九节(P65) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P65) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解:第一步求驻点 f1(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f,(x,y)=-3 y+6 0 得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2) 第二步判别求二阶偏导数 B fx(xy)=6x+6,fx(x,y)=0,/y(x,y)=6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6 AC-B2=12×6>0.A>0 f(1,0)=-5为极小值; HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(6)0,A<0 f(-3,2)=3为极大值. fx(xy)=6x+6,f3(xy)=0,/y(x,y)=-6y+6 B HIGH EDUCATION PRESS ●08 机动目录上页下页返回结束
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点(0.0) 是否取得极值. 解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有 AC-B=0 z=x3+y3在(00)点邻域内的取值 正E 可能为负,因此x(00)不是极值 X 0 当x2+y2≠0时,z=(x2+y (0,0) 0 因此0)0=(x2+y2)2(00=0为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时 f(P)为极小(大)值。f(P)为最小(大)值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小(大) 值 f (P) 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? 解:设水箱长宽分别为x,ym,则高为2m 则水箱所用材料的面积为 A=2(ry+y'xy 3+3)29++)(28 Ax=2(y-2)=0 得驻点(2,32) A,=2(x-2)=0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可 断定此唯一驻点就是最小值点即当长、宽均为√2 高为 32时水箱所用材料最省. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? m, 2 x y ( ) x y x y 2 2 = 2 + + 2( ) 0 2 2 = − = x x A y 2( ) 0 2 2 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2) 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面 积最大 解:设折起来的边长为xcm,倾角为a,则断面面积 iJ A=(24-2x+ 2x cos a+24-2x)xsin C 24x sin a-2x sin a+x cos a sina (D:0<x<12,0<a<) C 24 24-2 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , (24 − 2x + 2x cos 2 1 ) xsin 24 sin 2 sin cos sin 2 2 = x − x + x 24−2x x 积最大. ( : 0 12, 0 ) 2 D x 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
