第六节 第十二章 可降阶高阶微分方程 、ym)=f(x)型的微分方程 二、y"=f(x,y)型的微分方程 三、y"=f(y,y)型的微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章
y()=f(x)型的微分方程 d 令 贝 f(x),因此 dx f(x)dx+ 即 (n-1) f(r)dr+o 同理可得yn2)=f(x)dx+C1ldx+C2 ∫[Jf(x)dx1dxCx+C2 依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求解ym=e 解:y cos x dx+C e<-sinx+c e2x +cos x+Clx+O y=oe +sinx +Cix+cx+c (此处C1=C1) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x = − + 1 2 sin 2 1 e x C x = − + x y e 2 4 1 = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动设力F仅是时间t的函数F=F(D.在开始时刻 t=0时F(0)=F0,随着时间的增大,此力F均匀地减 小,直到t=T时F(⑦)=0.如果开始时质点在原点,且 初初速度为0,求质点的运动规律 解:据题意有 d-x F(t)=0(1 F F d T 0(1 dx X 0 dt0=0 T t 对方程两边积分,得 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = (1 ) 0 T t m F = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx (t-)+C dt m 2T d 利用初始条件 dr=0=0得C1=0,于是 dx F dt m 2T F 两边再积分得x m 2 67 再利用x=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 2 m 3T HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、y"=f(x,y)型的微分方程 设y′=p(x),则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为p=(x,C1) 则得 y=(x,C1) 再一次积分,得原方程的通解 P(x, Cldx+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解 (1+x2)y”=2xy x=0 0 解:设y=p(x),则y”=p,代入方程得 1+x)p=2xD分离变量d rdx 积分得lnp=ln(1+x2)+lnC1,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x2+3x+C 利用yx=0=1,得C2=1因此所求特解为 y=x32+3x+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 + = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设有一均匀柔软的绳索,两端固定,绳索仅受 重力作用而下垂,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线? 解:取坐标系如图考察最低点A到 y 任意点M(x,y)弧段的受力情况: A点受水平张力H M01. 8 M点受切向张力T H 弧段重力大小Pgs(:密度,S:弧长) pgs O 按静力平衡条件有 Tcos e=H,Tsin0=pgS 两式相除得tanO (其中a=) 8 故有 C ∫nV1+y2dx ty HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs o y x ( ) g H a 其中 = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设O4|=a,则得定解问题 x=0 0 悬链线M 令y′=p(x),则y d p 原方程化为 pgS dx d p dx √1+p Arshp=In(p+1+p) 两端积分得Ar$hp=x+C1,由y'x=0=0得C1=0 则有 y=sh 两端积分得y=ach2+C2,由yk20=a得C2=0 故所求绳索的形状为y=ach-=(ea+ea) a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M gs o y x H A 1 2 y 1 y a = + 设 OA = a, 则得定解问题: 令 y = p(x), , d d x p 则 y = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( ) 2 a x a x e e a − = + 悬 链 线 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、y"=f(y,y)型的微分方程 y=p(y),则 dp dp dy dp dx dy dx dy 故方程化为 dp=f(y, P) 设其通解为p=0(y,C1,即得 y=(y,C1) 分离变量后积分,得原方程的通解 d P(, C) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、 y = f (y, y ) 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
