6初等矩阵 初等矩阵的一般形式 定义1设u,v∈C",a∈C,则称 E(n,v,a)=E-uv为初等矩阵 1.初等矩阵的特征向量(u,ν≠0,≠0) (1)a∈v,设1…,un1是的一组基,它们也是E(u,v,)的 n-1个线性无关的特征向量 (2)gv,设u1…,un-1是p的一组基,则a,1…,un-1 是E(u,v,a)n个线性无关的特征向量 返回
返回 6 初等矩阵 ( )= n H u ,v C , C , E u ,v , E uv . 设 则称 为初等矩阵 定义 1 1.初等矩阵的特征向量(u,v 0, 0). 一、初等矩阵的一般形式 u 1 n 1 1 n 1 v , u , ,u v , u ,u , ,u E( u ,v , ) n (2) 设 是 的一组基 则 是 的 个线性无关的特征向量. 1 1 1 u n v , u , ,u v , E( u,v , ) n (1) 设 是 的一组基 它们也是 的 个线性无关的特征向量
初等矩阵的特征值 孔(E(u,v,o)={1,1,…,1,1-ou 3. det (e(u,v,o))=1-ov"u 4E4)=B(,-,)(1-olu=0 5.非零向量a,b∈C",存在u,v,a,使得 a=b E(u,v,o)a=b, ou H 返回
返回 3 ( ( ))=1 H .det E u ,v , v u 1 1 1 1 H E u,v , , ,, , v u 2.初等矩阵的特征值 ( ( ))={ } n H a ,b C u ,v , , a b E( u ,v , )a b ,( u ) v a 5.非零向量 ,存在 使得 . 1 (1 0) 1 H E H (u,v, ) E(u,v, ), v u v u 4
3.初等变换矩阵 E=E-(e1-e;)(e1-e;)=E(e1-e E (k)=E+ke e =E(e;,e;, -k) E(k)=E-(1-k)e,e=E(e,e1,1-k) 返回
返回 1 T Eij E i j i j i j i j ( e e )( e e ) E( e e ,e e , ) 3.初等变换矩阵 T Eij j i j i ( k ) E ke e E( e ,e ,k ) 1 1 T Ei i i i i ( k ) E ( k )e e E( e ,e , k )
4.初等酉阵( Householder变换) H(u)=E(u,u;2)=E-2un,(u"=1) (1)H(u)=H(u)=H(u)1 (2)H(u)(a+ru)=a-ru,va∈u,r∈C(镜象变换) 返回
返回 2 2 1 H H H ( u ) E( u,u; ) E uu ,( u u ) 4.初等酉阵(Householder变换) 1 (1) H H( u ) H( u ) H( u ) (2) H ( u )( a ru ) a ru , a u ,r C ( ) 镜 象 变 换
7、欧氏空间上的度量 定义1在线性空间Vn(P)上,若映射(x,y) Vn(P)×Vn(P)>P (1)(x,x)≥0;(x,x)=0当且仅当x=0, (2)(,y)=(,x),Vx, yEN(P) (3)(x,y)=(x,y),∈P,Vx,y∈Vn(P), (4)(x+y,x)=(x,3)+(y,),Vx,y,z∈Vn(P) 则称(x,y)是Vn(P)上的内积 返回
返回 定义1 V ( P ) ( x , y ) 在线性空间 n 上，若映射 Vn (P) Vn (P) P (1) (x, x) 0 ; (x, x) 0当且仅当 x 0 , (2) (x, y) ( y, x) , x, y V (P) , n (3) ( x, y) ( x, y) , P, x, y V (P) , n (4) (x y,z) (x,z) ( y,z) , x, y,z V (P) n 则称( x, y)是Vn (P)上的 内积. 7、欧氏空间上的度量
例1(1)在C"中,定义内积 (a, B)=a B=a101+a2b2 +..+anbn (2)在CI,b中,定义内积 (f, g)=of(x)g(x)dx 例2设a,B∈R",A∈Rn,则(a,B)=a7AB 是R"上的内积吗? 返回
返回 例 1 (1) 在C n中，定义内积 n n H a b a b a b 1 1 2 2 (, ) (2) 在C[a,b]中，定义内积 f g f x g x dx b a ( , ) ( ) ( ) 例 2 n n n T , R , A R , ( , ) A 设 则 是 R n上的内积吗？
定义2在线性空间Vn(R)上,Va,B,y∈V, 若映射(a,B)满足 (1)(正定性)(a,a)≥0;(x,x)=0分x=0, (2)(齐次性)(ka,B)=k(a,B) (3)(交换律:(a,B)=(B,a) (4)(分配律):(a+B,y)=(a,y)+(,y) 则映射(a,B)是V(R)上的内积定义了内积的V为 n维欧几里得空间,简称欧氏空间 返回
返回 定义 2 Vn R , , V , , 在线性空间 ( )上， 若映射( )满足 (1)(正定性) ( ,) 0 ; (x, x) 0 x 0 , (2)(齐次性) (k , ) k( , ) (3)(交换律):( , )=( ,) (4)(分配律): ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) n , V R , V n 则映射 是 上的内积 定义了内积的 为 维欧几里得空间, 简称欧氏空间
定义2‖x|=√x,x)〈》向量x的长度 定理 设(x,y)是V(P)上的内积,则 (1)‖元x|=|九|·|x‖ 2)‖x+y 1‖2 +x-y y|2=21x12+2y2 (3)(x,y)s‖xlly‖( Cauchy不等式) (4)‖+川|lsxl|yl‖(三角不等式) 返回
返回 定义 2 || x || ( x , x ) 向量 x的长度 定理 2 2 2 2 ( ) ( ) , (1) (2) 2 2 (3) |( )| (Cauchy ) (4) || | ( ) n x , y V P || x || | | || x || || x y || || x y || || x || || y || x , y || x || || y || x y | || x || || y || 设 是 上 的 内 积 则 不 等 式 三 角 不 等 式
定义3a(x,y)=x-川向量x和y的距离 定义4(x,y)=0◆向量x和y正交,记为x⊥y 勾股定理:x⊥y-‖x+y2=x2+‖y‖i 垂线最短定理:欧氏空间vn(R)中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短” 返回
返回 定义 3 d ( x , y ) || x y || 向量 x和y的距离 定义 4 ( x , y ) 0 向量 x和y正交,记为 x y 勾股定理：x y 2 2 2 || x y || || x || || y || 垂线最短定理：欧 氏空间Vn (R)中的一个固定向量 和一个子空间中各向量 的距离“垂线最短”
定义5 n维欧氏空间V中向量a1,a2,…,ax的Grm行列式: (al,a1(al,a2)..(a1,ak) (a2%1)(a2,a2)…(a2,ak G( 19C 化 (ak,a1)(ak, a2)..(ak,ak) 返回
返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 k k k k k k G k ， n V 1 2 k 维欧氏空间 中向量 , ,, 的Gram行列式 : 定义5