《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.4）矩阵的最大秩分解

§4矩阵的最大秩分解 定理1设A∈CmM,则存在矩陶B∈Cr", D∈Cr,使得 A= BD 证A∈C nXn L O A=U H 00 L A=Uo( O)v L A=BD,BUL, D=( O)V 0

§4 矩阵的最大秩分解 定理 1 , , m r r m n A Cr B C   设  则存在矩阵  A = BD DCr rn ，使得 证 m n A Cr   0 0 0 L H A U V   =     ( 0) 0 L H A U I V   =     , = , 0 ( ) 0 L H A BD B U D I V   = =    

矩阵的最大秩分解步骤: 进行行初等变化,化为行标准形 00.00.0 00 00 的第i,2…,列构成B=(an,a1,…,a1) 、A的非零行则构成D

矩阵的最大秩分解步骤： 一、进行行初等变化，化为行标准形：                       = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 0 0 0 1 0 * 0 1 * 0 0 * ~                                         A 1 i 2 i r i 1 2 1 2 , , , ( , , , ); r 二. 的第 列构成 A i i i B a a a r i i i = ~ 三、 的非零行则构成 A D

例1求矩阵 13214 A=26107的最大秩分解 393111

例 1 求矩阵 1 3 2 1 4 2 6 1 0 7 3 9 3 1 11 A     =       的最大秩分解

解一 130-1/310/3 0012/31/3|=A 0000 12 B=21 33 130-1/310/3 D 0012/31/3

~ 1 3 0 1/ 3 10 / 3 0 0 1 2 / 3 1/ 3 0 0 0 0 0 A   −   =       A 解一 1 2 2 1 3 3 B     =       1 3 0 1/ 3 10 / 3 0 0 1 2 / 3 1/ 3 D   − =    

解 101 011 000 0 00012 2 B 101 00036 D

解二 A ~ 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 A     =       1 0 0 1 1 1 B     =       1 3 2 1 4 2 6 1 0 7 D   =    

定理2设A∈Cm,且A=B1D1=B2D2均 为A的最大秩分解,则 (1)存在r阶可逆矩障Q,使得 B=B2e D=2D2 D(D1D1)(B1B)1B1 D2(D2D2)-1(B2B2)-1B2

定理 2 设 ACr mn ,且 A = B1 D1 = B2 D2 均 (1) 存在r阶可逆矩阵Q，使得 为A的最大秩分解，则 2 1 B1 B2 Q D1 Q D − = = H H H H D D D B B B1 1 1 1 1 1 1 1 (2) ( ) ( ) − − H H H H D D D B B B2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) − − =

i 1. rank(A)=rank(A A)=rank(AA) 2.B∈Cm,则B∈Crm,BB∈Crx 那么(BB)1BB=Er 左逆 3.D∈Crx",则Dh∈Cr,DDh∈Crr 那么DDDD)1=Er 右逆

1. ( ) ( ) ( ) H H rank A = rank A A = rank AA 左逆 注 r r r r m H r m r H B Cr B C B B C    2.  ，则  ,  r H H B B B B = E −1 那么 ( ) r r r n r H r r n H D Cr D C DD C    3.  ，则  ,  r H H DD DD = E −1 那么 ( ) 右逆

证 (1)B1D1=B2D2→B1D1D1 H=B2D2Di B1=B2D2D1(D1D1)-=B2Q 同理可得D1=(B1B1)-1BB2D2=Q2D2 B1D1=B201Q2D2=B2D2 B2B2Q1Q2D2D2=B2B2D2D2→→ Q2=E→记Q=Q,则2=Q1

证 1 1 2 2 (1) B D = B D H H B1 D1 D1 = B2 D2 D1 1 1 2 2 1 1 1 ( ) − = H H B B D D D D = B2 Q1 同理可得 1 2 2 1 1 1 1 D (B B ) B B D H − H = = Q2 D2 B1 D1 = B2 Q1 Q2 D2 = B2 D2 H H H H B2 B2 Q1 Q2 D2 D2 = B2 B2 D2 D2 Q1 Q2 = Er 1 1 2 − 记Q = Q ，则Q = Q

(2)D(D1D1)(BB1)-1B1 (Q-D2)|Q-1D2(QD2)I1 (B22B29(B20)H D2(o)2 D2D2(2) 12 B2 Ber 2 B2 H D2()(D2D2)gg1 H (B2B2)(Q)Q HD H D2(D2D)1(B2B2)1B2

H H H H D D D B B B1 1 1 1 1 1 1 1 (2) ( ) ( ) − − H H H H B Q B Q B Q Q D Q D Q D [( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 − − − − − = H H H H H H H H Q B B Q Q B D Q Q D D Q 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 [ ] ( ) [ ( ) ] − − − − − = H H H H H H H H B B Q Q B D Q Q D D Q Q 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − = H H H H D D D B B B2 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) − − =