《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.2）矩阵的谱分解

§2矩阵的谱分解 单纯矩阵的谱分解 定义1设九1,42,…,是A∈C"的相异特征值, 其重数分别为1,r2,…,rk,则称n为矩阵的特 征值的代数重复度

§2 矩阵的谱分解 一、单纯矩阵的谱分解 定义 1 设 1 , 2 ,  , k 是 AC nn 的相异特征值， 代数重复度 其重数分别为r 1 ,r 2 ,  ,rk ,则 称ri 为矩阵A的 特 征值i 的

定义2齐次方程组4x=年1x(=1,2,…,k) 的解空间龙称为的对应于特征值的特征 空间,则吃的维数称为4的特征值的 几何重复度 定义3若矩阵A的每个特征值的代数重度 与几何重复度相等,贝矩阵为单纯矩阵

定义 2 Ax x (i 1,2, ,k) 齐次方程组 = i =  几何重复度 的解空间Vi 称为A的对应于特征值i 的特征 空间，则Vi 的维数称为A的特征值i 的 定义 3 与几何重复度相等，则称矩阵 为 若矩阵 的每个特征值的代数重复 度 A A 单纯矩阵

定理3设A∈C"是单纯矩阵,则可分解 为一系列幂等矩阵4(i=1,2,…,n)的加权和, A=∑44 其中,42(i=12,…,m)是4的特征值 证:A是单纯矩阵一A=Plig(x1,…,n)P-1

证： A是单纯矩阵 1 1 ( , , ) − A = Pdiag   n P 设 AC nn 是单纯矩阵，则A可分解  = = n i A i Ai 1  为一系列幂等矩阵Ai (i = 1,2,  ,n)的加权和， 定理3 其中， (i 1,2, ,n)是A的特征值. i = 

P=(m1,"2,…,"n),P=|0 A10 0 0 A=(v1,v2,…,Vn 0‖a2 00

( , , , ), 1 2 n P = v v  v               = − T n T T P     2 1 1                           = T n T T n n A v v v                2 1 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 ( , , , )

A=∑40=∑414其中A=vO i=1 p"p=b,-y-1:- 441y=(o)/v1o/)="(av)o Vi oi L=j A是幂等矩阵 0 ≠

 = = n i T i i i A v 1    = = n i i Ai 1  T i i i 其中, A = v  P P = En −1     = = i j i j v j T i 0 1  ( )( ) T j j T i j i i A A = v  v  T j j T i i = v ( v )      = = i j v i j T i i 0  Ai 是幂等矩阵

A的性质: (1)幂等性:42=A1 (2)分离性:A14=0(≠j (3)可加性:∑4=E 证 n 1 PP=( n=∑=∑4=En nn

的性质: Ai Ai = Ai 2 (1) 幂等性： (2) A A 0 (i j) 分离性： i j =  n n i Ai = E =1 (3) 可加性： 证：               = − T n T T n PP v v v      2 1 1 2 1 ( , , , )  = = n i T i i v 1  n n i =  Ai = E =1

定理4设A∈C,它有k个相异特征值 ;(=1,2,…,k),则A是单纯矩阵的充要 条件是存在个矩阵42(i=1,2,…,k)满足 J 0 L≠J (2)∑4=En(3)A=∑44

设AC nn ，它有k个相异特征值  = = k i A i Ai 1 (3)  定理4 i (i = 1,2,  ,k)， 则A是单纯矩阵的充要 条件是存在k个矩阵Ai (i = 1,2,  ,k)满 足     = = i j A i j A A i i j 0 (1) n k i  Ai = E =1 (2)

必要性是单纯矩阵A=∑lB1 A=∑4∑Bn令4=∑B A=∑4(3) Bii Blk Bi i=l,j=k 0i≠l或j≠k

必要性 A是单纯矩阵  = = n i i Bi A l 1   = = = k i r j i i j i A B 1 1   = = i r j Ai Bij 1 令 (3) 1  = = k i A i Ai      = = = i l j k B i l j k B B i j i j l k 0 或

4=/4 0 ≠J ∑4=∑B1=E(2)

(1)  0    = = i j A i j A A i i j  = k i Ai 1  = = n i Bi 1 (2) = En

二、正规矩阵及其分解 定义3若n阶复矩阵A满足 AAH=AHA 则称A为正规矩阵 引理1设4为正规矩阵,A与B酉相似,则 B为正规矩阵

二、正规矩阵及其分解 定义 3 若n阶复矩阵A满足 正规矩阵 AA A A H H = 则称A为 引理 1 设A为正规矩阵，A与B酉相似，则 B为正规矩阵