《矩阵理论—知识点详解》第五章 矩阵分析（5.1）矩阵序列与矩阵级数

第五章 矩阵分析

矩阵分析 第 五 章

1矩阵序列与矩阵级数 设m×n型矩阵序列为A)},其中 k)(k) (k) 2 (k) (k),(k) (k) 21 22 2n,k=1,2,…, ()a(k (h mlm mn 定义1:Iima:(4 =ij lim A' 1(k) A k→)0 k→)∞

, 1,2, , ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( )         =               = k a a a a a a a a a A k mn k m k m k n k k k n k k k 设mn型矩阵序列为{A (k) }, 其 中A A k k = → ( ) 定义 1： ij lim k ij k a = a → ( ) lim 1 矩阵序列与矩阵级数

定理1:设im4=A,mimB()=Ba,B∈C,则 k→+0 k→+0 (1) lim(aA()+BB())=aA+BB k→)+ (2)lim A(R)B()=AB →)+Q (3当4与4都可逆时,im(A(k)y-14-1 →)+0 定理2:设刂‖是Cm"上任一矩阵范数Cm中 矩阵序列4敛于4的充要条件是 im‖4(k)-Al|=0 k→)+

定理 1： 设 lim A ( ) A，lim B (k) B. , C,则 k k k = =  →+  →+    (1) lim ( ) ; ( ) ( ) A B A B k k k  +  =  +  →+  (2) lim ; ( ) ( ) A B AB k k k = →+  (3) lim ( ) . ( ) ( ) −1 −1 →+  A A A = A k k 当 k 与 都可逆时， 定理 2： 设|| • ||是C mn 上任一矩阵范数，C mn 中 矩阵序列{A (k) }收敛于A的充要条件是 lim || || 0 ( ) − = →+  A A k k

定义2设A∈CmXm,若im4=0(k为正整数, k→>∞ 则称A为收敛矩阵 定理3设A∈CN,则4为收敛矩阵的充要 条件是(4)<1 roof:(1)充分性:A∈CmX P P AP=J=diag(n(ii),nm2),,Jr(s ) →=PP1→4→0Jk→0 Jk(4)→0

Pr : oof n n A C   ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 1 1 2 r r r s s P AP = J = diag J  J   J  − (1)充分性： 设A C ， 若 lim A k 0 (k为正整数)， k n n  = →  定义2 : 则称A为收敛矩阵. 定理3 设AC nn ，则A为收敛矩阵的充要 条件是r(A)  1. −1 A = PJ P k k → 0 k A → 0 k J ( i ) → 0 k ri J 

4Cx4) r1-1k-r+1 ●鲁 k C F-22k-+2 J()= k k k A4k0(=1,…,r-1) Jk(42)→0→J→0 k 4k→>0

| | 1 i  1 0 ( 1, , 1) l k l C l r k i i  − + → = − ( i ) → 0 k ri J  1 1 1 1 2 2 ) ( ) i i i i i k k r k r i k i k i k r k r k i k i r i i k i C C C J k r        − − − + − − +       =          ， → 0 k J → 0 k A

(2)必要性:44→0→J(4)→0一 x→0→|;k1 推论:设A∈C"",VE>0,则存在与A,有关的 常数c,使得 I(A^)ncr(A)+l,k=1,2,…;i,j=1,…,n

(2) 必要性： ( i ) → 0 k ri → 0 J  k A → 0 k  i | | 1 i  : , 0, , , | ( ) | [ ( ) ] , 1,2, ; , 1, , . n n k k ij A C A c A c r A k i j n         + = = 推论 设 则存在与 有关的 常数 使得

定义3:设{A是Cm的矩阵序列称 3(从)=A(1)+A2)+…+A)+ =1 为矩阵级数称s(M)=∑A()为矩阵级数的部 =1 分和如果ims(M)=S,则称∑A(收敛 N→ =1

定义3 : 设{A (k) }是C mn 的矩阵序列, 称  = + ++ +  = (1) (2) ( ) 1 ( ) k k k A A A A 为矩阵级数. 称 =  为矩阵级数的部 = N k N k S A 1 ( ) ( ) 分 和.如 果 lim S (N) S,则 称 N = → . 1  ( ) 收敛  k= k A

定义4:如果m个数项级数 Qa(),=、y’=1,2,…,n k=1 都绝对收敛则称矩阵级数∑A(从)绝对收敛 =1 ●● 定理4在C中,∑4(k2绝对收敛的充要条件 =1 是正项级数∑‖A收敛 k=1 Prof:∑A(对收敛→∑1|sM一 =1

定义4 : 如果mn个数项级数 a i m j n k k ij , 1,2, , ; 1,2, , 1  ( ) =  =   = , . 1 都绝对收敛则称矩阵级数 ( ) 绝对收敛  k= k A 在 中  绝对收敛的充要条件  =  1 ( ) , k n n k 定理4 C A || || . 1 是正项级数 ( ) 收 敛  k= k A Pr : oof  绝对收敛  =1 ( ) k k A a M N k k ij   =1 ( ) | |

∑‖4)|mn=∑2212)1|5mM =1 k=1(i=1/=1乡 ∑AA)m1收敛→ ∑‖A(收敛 k=1 =1 必要性:∑A()收敛一∑4)收敛 k=1 =1 l;>Im,oo ∑a)绝对收敛 =1

          =   = = = = N k m i n j k ij N k m k A a 1 1 1 ( ) 1 ( ) || || | | 1  mnM  收敛  =1 ( ) 1 || || k m k A  收敛  =1 ( ) || || k k A 必要性：  收敛  =1 ( ) || || k k A  收敛  =1 ( ) 1 || || k m k A 1 ( ) ( ) | | || || k k ij m a A   绝对收敛  =1 ( ) k k ij a

定理(Nmm定理方阵4的 Neumann级数 ∑A=1+A+A-+…+A+ k=0 收敛的充要条件是(4)<1,且收敛时其和为I-A) Proof:充分性:r(4)<1→Ⅰ-A可逆一 (+A+42+…+4)(-A)=1-A4+1→ +A+…+A=(1-A) 1Ak+1 (-A) -1 r(4)<1I+A+A2+…+→(-4)1

I − A可逆 定理5(Neumann定理) 方阵A的Neumann级数 ( ) 1, , ( ) . −1 收敛的充要条件是r A  且收敛时其和为 I − A  = + + + + +  =0 2 k k k A I A A  A  2 1 ( )( ) + + + + + − = − k k I A A  A I A I A 1 1 1 ( ) ( ) − + − I + A+ + A = I − A − A I − A  k k r A( ) 1  Pr : oof 充分性：r(A)  1 2 1 ( ) − I + A+ A + + A → I − A  k