《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.2）广义逆矩阵

2广义逆矩阵A 定义1设A∈CmN,如果存在矩阳G∈Cmm, 使得 AGb=b(yb∈R(A) 则称G为4的广义逆矩阵记为G=A 定理1设A∈Cm,则A存在广义逆矩阵的 充要条件是存在G∈CmM",使其满足 AGA= A

2 广义逆矩阵 − A 定义1 , . − 则 称G为A的广义逆矩阵记 为G = A AGb = b ( b R(A)) , , m n n m A C G C   设  如果存在矩阵  使得定理1 充要条件是存在GC nm , 使其满足 设 AC mn ,则A存在广义逆矩阵的 AGA= A

proof必要性:u∈C"→b=Au∈R(4) AGb=b AGAu= AGb=b=Au AGA= A 充分性:Ax=b→→AGb=AG4x =Ax=b→G为4的一个广义逆矩阵

proof 必要性： n  uC b = Au R(A) AGb b = AGAu= AGb= b= Au G为A的一个广义逆矩阵 AGA= A 充分性：Ax = b AGb = AGAx = Ax = b

推论1设A∈Cm",且A∈C"m是4的一个广义 逆矩阵则 runk(A)≥rank(A) proof rank(A)=mkA44)≤mnk(44)≤mmk(A) 定义A{4}={G|AGA=A,VG∈C"Nm} 定理2设A∈Cm,且A是4的任一广义逆矩阵, 则有 A 1=GG=A +U-A AUAA, VUECIXm IGG=A +(E -A AV+W(Em-AA)VV, WECm

proof rank(A) rank(AA A) − = ( ) −  rank AA ( ) −  rank A {1} { | , } n m A G AGA A G C  定义 = =   则有定理2 设 AC mn ,且A − 是A的任一广义逆矩阵， {1} { | , } n m A G G A U A AUAA U C − − −  = = + −   推论1设 AC mn ,且A − C nm 是A的一个广义 rank(A )  rank(A) − 逆矩阵,则 { | ( ) ( ), , } n m G G A E A A V W E AA V W C n m − − −  = = + − + −  

proof VG∈A{}→AGA=A= G=A+G-A-A A(G-A )AA U=G-A G=A+U-A AUAA AUCGG=A +U-A AUAA,V UEC) VU∈Cmm→G=A+U- A AUAA G=A +u-Uaa +UAA-A AUAa

proof  G  A{1} − − − − − G = A + G − A − A A(G − A )AA U G A− = − {1} { | , } n m A G G A U A AUAA U C − − −   = + −   AGA= A G A U A AUAA − − − = + − n m U C    − − − − − G = A +U −UAA +UAA − A AUAA G A U A AUAA − − − = + −

G=A +(E,-A AUAA +U(Em-AA W=U-G=A-+(En-A A)V-W(Em-AA) IGG=A+U-A UAA VUECC GIG=A +(En-A A)V+W(Em-AA), y,W∈C

( ) ( ) G A E A A UAA U E AA n m − − − − = + − + − ( ) ( ) − − − G = A + En − A A V −W Em − AA W U= , V UAA− = , } { | ( ) ( ), n m n m V W C G G A E A A V W E AA  − − −   = + − + − { | , } n m G G A U A UAA U C − − −  = + −   

VMEGIG=A +(En-A A)V+W(Em -AA ) VV,W∈CNm} VV,WECM=A+(En-A A)V+W(Em-AA) AMA=AA +(En-A A)V+W(Em -AA JA AMA=AA A+(A-AA A)VA+AW(A-AA A) AMA=A+(A-AVA+AW(A-A=A

, } { | ( ) ( ), n m n m V W C M G G A E A A V W E AA  − − −     = + − + − ( ) ( ) − − − , M = A + En − A A V +W Em − AA n m V W C    AMA A[A (En A A)V W (Em AA )]A − − − = + − + − AMA AA A (A AA A)VA AW(A AA A) − − − = + − + − AMA = A+ (A− A)VA+ AW(A− A) = A

IGG=A +(En -A A)V+W(Em-AA ) VV,W∈ Cmic A1 定理3设A∈CmM,∈C,则 ()(42)=(4),(42)=(A)f (i)AA与AA都是幂等矩阵且 rank(a)=rank (aa)=rank(a 1)

{ | ( ) ( ), − − − G G = A + En − A A V +W Em − AA , } n m V W C     A{1} T T H H (i) (A ) (A ) , (A ) (A ) − − − − = = 定理3 设 AC mn ,  C,则 (i i) AA− 与A − A都是幂等矩阵,且 rank(A) rank(AA ) rank(A A) − − = =

0 =0 (i)xA为24的广义逆矩阵其中x= -1a≠0 (i)设是m阶可逆矩阵T是n阶可逆矩阵且 B=SAT,则T1As-是B的广义逆矩阵 (v) R(AA =R(A), N(AA=N(A) pro()A4A=A→AT=A(A4) (4T=(A1) 同理可证(A)b=(4)

proof = − − − (iii)  A 为A的广义逆矩阵,其 中      = − 0 0 0 1    则 是 的广义逆矩阵； 设 是 阶可逆矩阵 是 阶可逆矩阵且 B SAT T A S B i v S m T n 1 1 , ( ) , , − − − = (v) R(AA ) = R(A), N(A A) = N(A); − − i AA A = A − ( ) T T T T A A (A ) A − = − − ( ) = ( ) T T A A − − ( ) = ( ) H H 同理可证 A A

(ii)(AA )=AA AA =(AA A)A =AA AA是幂等矩阵 rank(A)> rank(Aa )2 rank(AA A) rank(a)-trank (A)=rank(AA) (i)x=0→(a4)(xA)(4)=0=4 元≠0→(4)(4A)(4)=(x九)A4A n→A为几4的广义逆矩阵 (iv)BtAS B=SATT S SAT=SAA AT =SAT=B→T-1As是B的广义逆矩阵

− − − ii AA = AA AA 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − rank A  rank AA AA− 是幂等矩阵 (A)( A )(A) − − (iii)  = 0  − A − 为A的广义逆矩阵 − − = (AA A)A − = AA rank(AA A) −  = rank(A) ( ) ( ) − rank A = rank AA = 0 = A   0 (A)( A )(A) − − AA A − − = (  ) = A iv BT A S B 1 1 ( ) − − − SAA AT − = = SAT = B T −1 A − S −1 是B的广义逆矩阵； SATT A S SAT −1 − −1 =

(v)显然有R(A4)cR(A2N(A)N(4) X rank(A)=rank(AA)=rank(A A) R(AA=R(A), N(AA)=N(A) 推论2设A∈Cm,则 (i)rmk(A)=n的充要条件是A=En; (i) rank(4)=m的充要条件是4=Em 证:充分性:定理3(1→rmk(A)=rmk(A) rank(en=n

R(AA ) = R(A), N(A A) = N(A) − − (v) R(AA )  R(A), N(A A)  N(A) 显然有 − − rank(A) rank(AA ) rank(A A) − − 又 = = ( ) ( ) ; A n A A En i rank = = 的充要条件是 − 推论2 设 AC mn ,则 (i i) rank(A) = m AA = Em. 的充要条件是 − 充分性：定理3 (ii) ( ) ( ) − rank A = rank AA = rank(En ) = n 证: