《矩阵理论—知识点详解》第三章 矩阵的分解（3.3）Hermite矩阵及其分解

s3 hermite矩阵及其分解 定义1A∈C,A=A分A是 hermite矩阵 A∈C,AH=-A冷A是反 Hermite矩阵 2. Hermite矩阵的基本性质 (1(Aa, B)=(a, AB), Va,BEC (Aa, B)=(Aa"B=a"A B=aAB (a, aB)

§3 Hermite矩阵及其分解 定义1 , n n H A C A A A Hermite   =  是 矩阵 (1) ( , ) ( , ), , n A A C       =   , n n H A C A A A Hermite   = −  是反 矩阵 2. Hermite 矩阵的基本性质 ( , ) ( ) H A A     = H H =  A H =  A = ( , )  A

(2)2∈R,x1∈A(A) (3)Ax=1x,4x=x,4≠→(x1,x)=0 00 (4)4与矩阵0,0合同其中ramk(4)=r 000 n 0 (5)UAU=: 其中U为酉矩阵

(2) , ( )    i i    R A (3) , , ( , ) 0 Ax x Ax x x x i i i j j j i j i j = =   =     0 0 (4) 0 0 , ( ) 0 0 0 p r p I A I rank A r −       =     与矩阵 合同 其中 1 0 (5) , . 0 H n U AU U       =       其中 为酉矩阵

3.正定 Hermite矩阵的基本性质与分解 定义 A=A,xAx>0,Vx≠0分A为正定 hermite矩阵 (1)an2>0,i=1,2,…,n →e1=(0,…,0,1,0,…,0)→eAe1=an>0 (2)x2>0,Vx1∈(A) (3)彐正定矩阵B,使得A=B,k∈N (4)正线下三角矩阵L,A=LL

3. 正定Hermite矩阵的基本性质与分解 , 0, 0 H H A A x Ax x A Hermite =     定义: 为正定 矩阵 (1) 0, 1,2, , . ii a i n  = (0, ,0,1,0, ,0)T i  = e H i i ii  = e Ae a  0 (2) 0, ( )    i i    A (3) , , k  =  正定矩阵 使得 B A B k N (4) , ; H  = 正线下三角矩阵L A LL

(5)detA≤a1a2anm, fisher不等式 0 →A=LE,L=n“0 ∑l22 →LL= ∑|lm2 →ak=∑|l2l142=dtA= det Ldet"=I2

11 22 (5) det , A a a a fisher  nn 不等式 11 11 11 11 11 11 0 0 0 , H l l l A LL L l l l      = =         2 11 2 2 2 1 2 1 | | * * * | | * * * | | i H i n ni i l l LL A l = =          = =             2 2 1 | | | | k kk ki kk i a l l =  =   2 1 det det det | | n H ii i A L L l =  = = 

(6)det as det Au det A2, A= 22 (7)A与单位矩阵J合同 3半正定矩阵的基本性质 (1)a2 n≥0,i=1,2,…,n. (2)2≥0,Vx∈A(A) (3)彐半正定矩阵B,使得A=B,k∈N (4)4与单位矩阵 合同,其中ramk(4)

3.半正定矩阵的基本性质 11 12 11 22 21 22 (6) det det det , A A A A A A A A    =     (7) A I 与单位矩阵 合同 n (1) 0, 1,2, , . ii a i n  = (2) 0, ( )    i i    A (3) , , k  =  半正定矩阵 使得 B A B k N (4) ( ) r I o A rank A r o o     =   与单位矩阵 合同,其中

定理1设A,B∈C,A为正定矩阵,BB=B 则存在可逆矩阵T,使得 T"AT=E, T BT=D 证:A正定→A与E合同→PHAP=E →PBBP为 Hermite矩阵 今從pBPU=D T=PU BT=D T=PU THAT= UHPHAPUEUHEU=E

定理1 , , , , n n H A B C A B B T  设 为正定矩阵,  = 则存在可逆矩阵 使得 证: 正定 与 合同 A A E  , . H H T AT E T BT D = = n H  = P AP E H  P BP Hermite 为 矩阵 H H  = U P BPU D H T PU T BT D = = H H H H T PU T AT U P APU U EU E = = = =

4.广义正定矩阵 定义:A∈R"",Vx≠0,x∈R",有xAx>0 兮A为广义正定矩阵 1-21-2 A为广义正定矩阵→S=(A+A1 A为广义正定矩阵→K=(A-A)

, 0, , 0 n n n T A R x x R x Ax A        定义: 有 为广义正定矩阵 4.广义正定矩阵 1 ( ) 2 T A S A A 为广义正定矩阵  = + 1 ( ) 2 T A K A A 为广义正定矩阵  = −

广义正定矩阵的基本性质: (1)A,A+B为广义正定矩阵 (2)S为正定矩阵 (3)max(x(S))≥ReA(4)≥min((S)>0 (4)det A>0

广义正定矩阵的基本性质: (1) , T A A B+ 为广义正定矩阵 (2) S为正定矩阵 (3) max( ( )) Re ( ) min( ( )) 0    S A S    i (4) det 0 A 