第四节 第十章 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章
对面积的曲面积分的概念与性质 引例:设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想,采用 (5k,k25k) 大化小,常代变,近似和,求极限 的方法可得 M=im∑p(5k,nk,5k)△Sk 2>0 其中,λ表示n小块曲面的直径的x 最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 = n k 1 M = ( , , ) k k k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义:设Σ为光滑曲面,f(x,yz)是定义在∑上的一 个有界函数,若对∑做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限” ∑/(5,m,)As作(x:ds 都存在,则称此极限为函数f(x,yz)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分其中f(x,yz)叫做被积 函数,∑叫做积分曲面. 据此定义,曲面形构件的质量为M=1(x,y,2)dS 曲面面积为S=小dS HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M (x, y,z)d S = 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续, 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性若∑是分片光滑的,例如分成两 片光滑曲面∑1,∑2,则有 ∫-/(xy)dS=小3(xydS+,f(xy=)d 2 线性性质.设k1,k2为常数,则 (xy2k8xy小S k1ll-f(x,y, z)dS+k2l-g(x,y, z)ds HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 = f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S k1 f (x, y,z) k2 g(x, y,z) d S • 线性性质. = k1 f (x, y,z)dS k2 g(x, y,z)dS 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对面积的曲面积分的计算法 定理:设有光滑曲面 2:Z=Z(x,y),(X,D)EDx f(x,yz)在Σ上连续,则曲面积分 J(xy)dS存在任且有 X 「〔f(x,y,=)dS (△Ok)xy(5k,k5k ∫D(xx)1+=2(x)+2(xdy y 证明:由定义知 xy:)ds=imn∑/(5x5AS 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 = n k 1 0 lim → Dxy ( , , ) k k k k x y ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
而△Sk △O 71+Ex(x,y)+Ey(x, y)dxd y k +Ex(Sk,nk)+Ey(sk,nk)(Aok)xy f(x V,2)dS m∑/(5k,mk,2(5km) k=1 +2x2(k,m7k)+=y2(k,7)(Aak) m∑/(5k,1k(5k,1k (光滑) +Ex(5k, nk)+zv(sk, nk)(ok) x,1)4-2 D f(x,y,z(x,D))v1+Ex(x,y)+y(x,y)dxdy 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y z x y x y k x y x y 1 ( , ) ( , ) d d ( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 = + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2 = + + ( , , ( , )) k k k k f z ( , , ( , )) k k k k f z f (x, y,z)dS 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 1)如果曲面方程为 x=x(y,2)(y,2)∈Dz 或y=y(x,=),(x,)∈Dx2 可有类似的公式 2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.(见本节后面的例4,例5) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1计算曲面积分dS,其中∑是球面x2+y2+=2 a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解:∑ C (x,y)∈D y D x2+y2≤a2-h h xy 1+z2+ D y a --y X ds = a dxd -h2 rdr a de D 0 0 a2+h2 =2 a n(a 2 aln 0 h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x + y a − h 2 2 1 x y + z + z z d S = 2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r + − − = − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 若∑是球面x2+y2+z2=a2被平行平面z=±h截 出的上下两部分,则 ds (0 h ds 4 aln -) h h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
思考: 若 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d = z S ( ) d = z S 0 h 4 ln a a 则 h − h o x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例计算∫: xyzds,其中Σ是由平面x+y+=1与 坐标面所围成的四面体的表面 解:设∑1,2,>3,4分别表示∑在平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1上的部分,则 质式(110ys xyz s ∑4:=1-x-y(xy)∈D:0≤y≤1-x l0≤x≤1 35dy-x-yy=3120 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. o z y x 1 1 1 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4 , , , = 4 xyz d S : 1 , 4 z = − x − y − 0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy − − − x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3 = 与 = 1 0 3 x dx + + + 1 2 3 4 xyz dS 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束