第二节 第十二章 可分离变量儆分方程 可分离变量方程 dy fi(x)f2(y) dx M,(xM2(y)dx+m(x)n2()dy=0 转化 解分离变量方程g(y)dy=f(x)d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2 第十二章
分离变量方程的解法 g(y)dy=f(x)dx 设y=(x)是方程①的解,则有恒等式 go(xo(x)dx=f(x)dx 两边积分,得「g()dy=f(x)dx G(y) F(r) 则有 G(y)=F(x)+C② 当G(y)与F(x)可微且G()=g()0时,上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数y=φ(x)是①的解.同样,当F(x) f(x)A0时,由②确定的隐函数x=v()也是①的解 称②为方程①的隐式通解,或通积分 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求微分方程 d y=3x2y的通解 解:分离变量得y=3x2dx说明在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分∫=j3x2dr 变形,因此可能增、 减解 得ny|=x3+C1 或 即y=± +C1=±e In +In C C=±e y=Ce (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx+(x+1)d y=0 例2.解初值问题 y(0)=1 解:分离变量得 d dx 1+x 两边积分得Iny|=ln InC √x2+1 即 yx2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1,故所求特解为 yx2+1=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求下述微分方程的通解 y'=sin(x-y+l) 解:令=x-y+1,则 故有 u =sin u 即 secu du=dx 解得 tanu=x+( 所求通解:tn(x-y+1)=x+C(C为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 u = x − y +1, 则 故有 u u 2 1− = sin 即 解得 tanu = x +C 所求通解 tan(x − y +1) = x +C ( C 为任意常数 ) : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习:求方程 dy ex+y的通解 dx 解法1分离变量edy=edx e+ 即 (ex+C)e)+1=0(C<0) 解法2令=x+y,则'=1+y 故有 L′=1+el 积分 du 1+e x+ d u 1 1+ l-n(1+e")=x+C 所求通解:ln(1+exy)=y-C(C为任意常数) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
练习: 解法 1 分离变量 e e C y x − = + − 即 ( + ) +1 = 0 x y e C e ( C < 0 ) 解法 2 令u = x + y, 故有 u u =1+ e 积分 u e x C u − ln (1+ ) = + 所求通解: e y C ( C 为任意常数 ) x y + = − + ln (1 ) u e e e u u u d 1 (1 ) + + − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量M成正比,已知t=0时铀的含量为M0,求在 衰变过程中铀含量Mt)随时间t的变化规律 dm M(4>0) 解:根据题意,有{d M,n=M。(初始条件) dM 对方程分离变量,然后积分: n)dt 得lnM=-t+1nC,即M=Ce M 利用初始条件得C=M 故所求铀的变化规律为M=M0e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 ( 0) d d = − M t M M t=0 = M0 (初始条件) 对方程分离变量, 得 ln M = − t + lnC, 即 t M Ce − = 利用初始条件, 得 C = M0 故所求铀的变化规律为 . 0 t M M e − = M M0 t o 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求 降落伞下落速度与时间的函数关系 解:根据牛顿第二定律列方程m dy dt mg-kv 初始条件为v=0=0 dy dt 对方程分离变量然后积分:「 -ky 得-1n(mg-kv)=+C(此处mg-kv>0) 利用初始条件,得C=-1n(mg) t足够大时 k mg 代入上式后化简得特解v="(1-em k 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 初始条件为 v t=0 = 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得 (此处 mg − kv 0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C = − 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 ) t m k e k m g v − = − mg − kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出 小孔横截面积S=lcm2开始时容器内盛满了水,求水 从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变 化规律 解:由水力学知,水从孔口流出的流量为 h dⅣ Q=1=062S2gh dt 100cm 流量系数孔口截面面积 重力加速度 high 即dV=062√2ghdt 设在[t,t+dn内水面高度由h降到h+dh(dh<0) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
100cm 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 开始时容器内盛满了水, 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 r 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 即 dV = 0.62 2gh d t 小孔横截面积 求水 化规律. 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在 内水面高度由 h 降到h + d h (d h 0), h + d h h h o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对应下降体积 dv=-tr2 dh r=1002-(100-h)2=√200h h2 d=-x(200h-h2)dh h 因此得微分方程定解问题: [0.62/2ghdt=-T(200h-h)dh o h+dh 100 将方程分离变量: dt= (200h2-h2)dh 0.62、2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
100cm r h + d h h h o 对应下降体积 dV r dh 2 = − 2 2 r = 100 − (100 − h) 2 = 200h − h dV (200h h )dh 2 = − − 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: h h h g t (200 )d 0.62 2 d 2 3 2 1 = − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束