第三节 第十二章 齐次方程 齐次方程 2二、可化为齐次方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第十二章
齐次方程 形如=a(")的方程叫做齐次方程 dx dy d 解法:令=,则y=x u+x dx du 代入原方程得l+x dx p( du d 分离变量 p(u)-u x du d x 两边积分,得 Q()-l X 积分后再用代替u,便得原方程的通解 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1解微分方程y=+tm 解:令=,则y=4+x1,代入原方程得 u+xu=u+ tan u dx 分离变量 d u sin ul dx 两边积分 d u sin u 得 n sinu=nx+nC,即sin=Cx 故原方程的通解为sin=Cx(C为任意常数) (当C=0时,y=0也是方程的解) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解微分方程 tan . x y x y y = + 解: , x y 令u = 则y = u + xu , 代入原方程得 u + xu = u + tanu 分离变量 x x u u u d d sin cos = 两边积分 = x x u u u d d sin cos 得 ln sin u = ln x + ln C , 即 sinu = C x 故原方程的通解为 C x x y sin = ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.解微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0. 解:方程变形为=2y-(y)2令m=y,则有 dx utxu'=2u-u du d 分离变量 )d= 积分得h/4-1 Inx|+n(C|,即 x(l-1) 代回原变量得通解x(y-x)=Cy(C为任意常数) 说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在 求解过程中丢失了 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解微分方程 解: 2 ( ) , d d 2 x y x y x y 方程变形为 = − , x y 令 u = 则有 2 u + xu = 2u − u 分离变量 x x u u du d 2 = − − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − ( ) x x u u u d d 1 1 1 − = − − 即 代回原变量得通解 即 C u x u = ( −1) x ( y − x ) = Cy 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状 解:设光源在坐标原点,取x轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线M,y,∠T 由光的反射定律:入射角=反射角 可得OMA=∠OAM=a 从而AO=OM A P 而AO=AP-OP= cota-x X OM 于是得微分方程 X x-+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o y x 可得 OMA = OAM = 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y − = 2 2 OM = x + y T M A P y 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP −OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y − 2 2 = x + y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
利用曲线的对称性,不妨设y>0,于是方程化为 dx=x+1+(x)2(齐次方程 d dx dy 令=-,则x=y duty ay dv 1+v d 积分得h(v+y1+y2) 2=hy-hCv+√1+p2_y 故有 y 2yv 1+v 故反射镜面为旋转抛物面2)(抛物线) 代入yv=x,得y2=2C(x+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, , y x 令 v = 2 1 d d v y v y = + y v v y y x d d d d = + ln (v 1 v ) ln y ln C 2 积分得 + + = − 故有 1 2 2 2 − = C y v C y 得 ) 2 2 ( 2 C y = C x + (抛物线) 2 2 ( v ) 1 v C y − = + 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y2=2C(x+2) 说明: 若已知反射镜面的底面直径为d, 顶到底的距离为h,则将 h x+ h 2 代入通解表达式得( 8h 这时旋转曲面方程为 tz x 4h 16h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
顶到底的距离为 h , h d C 8 2 = 说明: 2 ( ) 2 2 C y = C x + 则将 这时旋转曲面方程为 + + = h d x h d y z 4 16 2 2 2 2 h 若已知反射镜面的底面直径为 d , d 代入通解表达式得 ( , 0) 2 C − o y x A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、可化为齐次方程的方程 dy ax+by+c dx aix+b,y+c (c-+q1≠0) 1.当④≠时作变换x=X+h,y=Y+k(h1k为待 b 定常数,则dx=dX,dy=dY,原方程化为 dy ax+rta+bk+c dx a,X+b,r+anh+b,k+C1 ahtbk+c=o 令 解出h,k h+b1k+C1=0 dy axtby (齐次方程) dX ax+b,y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 ( 0) 2 1 2 c + c 1. , 当 1 1 时 b b a a 作变换 x = X + h, y = Y + k 则d x = d X , d y = dY, 原方程化为 + a h + bk + c 1 1 1 + a h + b k +c 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束
求出其解后,将X=x-h,Y=y-k代入,即得原方 程的解 2当b =时,原方程可化为 b d ax+by+c (b≠0) dx ax+by)+Cl 令 V=ax+by,则 dv d a+b dx d lr a+6v+c dy 可分离变量方程) d ay+c 注:上述方法可适用于下述更一般的方程 dy f( ax++c +C1≠0) dx x+b,y+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
求出其解后, 即得原方 程的解. 2. , 当 1 = 1 = 时 b b a a 原方程可化为 1 d ( ) d a x by c a x by c x y + + + + = 令 v = a x + by, x y a b x v d d d d 则 = + 1 d d v c v c a b x v + + = + (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 ( 0) 2 1 2 c + c (b 0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
_x+y+4 d 例4.求解{drx-y-6 h+k+4=0 解:令 得h=1,k=5 h-k-6=0 令x=x4+1,y=y-5,得4y=x+ 再令Y=Xl,得 ×3dadX 积分得atan-4n(1+2)=lnCX 代回原变量,得原方程的通解 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 求解 解: h + k + 4 = 0 令 x = X +1, y = Y − 5 , X Y X Y X Y − + = d d 得 再令 Y＝X u , 得 令 h − k − 6 = 0 得 h =1, k = 5 X X u u u d d 1 1 2 = + − 积分得 arctanu ln (1 ) 2 2 1 − + u = ln C X 代回原变量, 得原方程的通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束