同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第十章 曲线积分与曲面积分（10.6）高斯公式

第六节 第十章 高斯公式通量与散度 Green公式 推厂Gaus公式 高斯公式 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章

、高斯( Gauss)公式 定理1.设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲 面∑所围成∑的方向取外侧,函数P,Q,R在 上有连续的一阶偏导数,则有 OP OO OR dxdvdz ax Prydz+ Oded+ Rdxd y( Gauss a公式) 下面先证 OR dxd ydz rdxd Q2 az HIGH EDUCATION PRESS 08 目录上页下页返回结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  = Pd y d z + Qd z d x + Rdxd y x y z z R d d d     = Rd xd y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明:设9:z1(x,y)≤2(x,y)≤2(x,y),(x,y)∈Dxy 为XY型区城,=Σ1U∑Σ2U∑3Σ1:z=z1(x,y) 2 (x,y),则 OR dxd vd l dxdy[2(x,yOR d z Q2 az y (x,y) JI.(R(, y, 2(x,D) R(x,y, z1(x, y)))dxd y y 乐 Rdxdy=(I+-+) Randy SO.R(x, J,42(x, D)dxdy-JJDR(x,,=(x, y)d xdy HIGH EDUCATION PRESS

2 3 1  z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd xd y  = Dxy (  = 2 x y z z R d d d    d xd y  + 1  + 3 )Rd xd y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dxy  = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

OR 所以 dxd yd Rdxd v 20z 若Ω不是XY-型区域,则可引进辅助面 将其分割成若干个XY型区域,在辅助面 正反两侧面积分正负抵消,故上式仍成立 类似可证』 dady=小yd 0O dxd ydz Odex Q2 a 三式相加,即得所证 Gauss公式: OP OO OR dxd vdz S2 Ox dy 0z Pdydz+odzdxtrdxd HIGH EDUCATION PRESS 鱼 0@8 目录 下页返回结束

所以 x y z z R d d d     = Rd xd y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用 Gauss公式计算 (x-ydxdy+y-z)xd ydz 其中Σ为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解:这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gaus公式得 原式=』0(-) dxd yd=(用桂坐标),/g y rsin0-zrdrdedz 9丌 dolrdrl(rsin e-z)dz 思考:若∑改为内侧,结果有何变化 若∑为圆柱侧面(取外侧),如何计算? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d xd y d z  = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0    =   −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.利用 Gauss公式计算积分 I=-(x cosa+y B+z cosr)ds 其中Σ为锥面x2+y2=2介于z=0及 h h之间部分的下侧 解:作辅助面 X=h,(x、2+yh,取上侧 记∑∑所围区城为92,则在X1上a=B=3,y=0 I=([3)(x2 cosa+y2 B+22 cosy)ds (x+y+z)dxdydz h-dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y 解: 作辅助面 x : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y  Dxy x + y  h 取上侧 + = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2  +  +  , 0 1 2   =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d xd y d z h x y Dx y d d 2  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

e lo(x+y+a)dxdyds-. h'dxdy 利用重心公式注意x=y=0 dxd ydz-丌h ∑h h 22.22 dz-I h 0 丌h HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 I = 2 (x + y + z)d xdydz 利用重心公式, 注意 x = y = 0  = 2 z d xd ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h  h o z y x 1 h 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.设Σ为曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上侧求 I=l-(x'z+x)dydz-xtyzdzdx-xzdxd 解:作取下侧的辅助面 21: 2=1(X,y)EDxy: x'+y <I 用柱坐标用极坐标 ∑+∑ dxd ydz-(1) )dxdy 丌 do d d cosd dr 13兀 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. ( )d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 1 : z =1 ( , ) : 1 2 2 x y  Dxy x + y  I =   +  − 1 1  = d xd ydz ( x )d xd y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d  1 0 d r  −    2 0 2 cos d 12 13 = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设函数(x,y),v(x,y)在闭区域Ω上具有一阶和 二阶连续偏导数,证明格林(Gren)第一公式 Ov P 02a2p02p dxd yd 2 Oy x av -coSa+ cos B+e dS R=u az yyz ∫ Q2 Ox Ox ayay az az )dxdydz 其中∑是整个Ω边界面的外侧 分析:高斯公式 )dxd ydz ax ay a Pdydz+odzdx+rdxd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

        +   +   cos cos  cos z v y v x v 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 d S 例4. 设函数  u d xd y d z  = u (  − )d xd y d z x u   y u   + y v   z u   + z v   其中  是整个  边界面的外侧. P = u x v   Q = u y v   R = u z v   分析: ( ) x y z z R y Q x P d d d    +   +    = Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y x v   高斯公式           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证:令P=l,Q=l,R=,由高斯公式得 OX 3×∞ 2 0y- az Ou av Ou Or dxd vdz Ox ax ay ay az az ov Ov -dydz+ dzdx+dxd dz cosa cos B+o cosy dS Σ"(Ox az 移项即得所证公式(见P171) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

证:令 P = u , x v   Q = u , y v   R = u , z v   由高斯公式得           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v         +   +   cos cos  cos z v y v x v  = u d S 移项即得所证公式.(见 P171) y v   z v   x v   机动 目录 上页 下页 返回 结束