第二章 向量与矩阵的范数
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1向量的范数 定义1设映射C→R满足: (1)正定性0,当且仅当x=0时,=0; (2)齐次性xx∈r,x∈Cn; (3)三角不等式x+y+y,x,y∈Cn. 则称映射为n上向量x的范数. 向量范数的性质: (1)0=0 (2)x≠0时,x=1 返回
返回 1 向量的范数 (1)|| 0||= 0； 向量范数的性质： 定义1 则称映射|| || 为C 上向量x的范数. n (1)正定性 || x || 0,当且仅当x = 0时，|| x ||= 0; 设映射|| ||: C n → R满足： (2) || || | ||| ||, , ; n 齐次性 x = x R xC (3) || || || || || ||, , . n 三角不等式 x + y x + y x yC || 1; || || 1 (2) 0 || x = x x 时
(3)对任意x∈C",有‖-xl-x‖ (4)对任意x,y∈C",有|!x‖-‖yx-y‖ 证‖x‖=‖(x-y)+y|‖x-y+yll xl1-y|‖x-yl(1)—‖x-y|y-xl‖ 坐yll-l‖xl‖l-‖y伦-‖x-y(2) (1)(2)C川x-yllx-y 例1设x=(x1,x2,…,xn)∈C,则 (1)xl1=∑x; 1-范数
返回 证 || x || || ( x y ) y || || x y || | y | = − + − + | | (3) x C || x || || x ||; n 对任意 ，有 − = (4) x, y C ||| x || || y || | || x y || . n 对任意 ，有 − − || x || || y || || x y || − − (1) || x y || || y x | −=− | − || y || || x || || x || || y || − − − || x y || (2) (1),(2) ||| x || || y ||| || | − −x y | 例 1 1 2 ( ) n n 设 ，则 x x , x , , x C = 1 1 (1) n i i || x || | x | = = 1−范数
(2)x2=(x 2-范数 63)‖ll= max x; 无穷范数 X=x,x ),y=(,y2,…,yn) Ix"y=xiv,+x2y,+.+xny ≤(|x1P2+|x2P2 …十x (|y1}2+|y2|2 =‖xlyl x+y2=(x+y)"(x+y)
返回 1 (3) i i n || x || max | x | = 证 1 2 1 2 ( ) ( ) T T n n x x , x , , x y y , y , , y = = ， 2 2 1 2 1 2 H n n | x y | | x y x y x y | = + + + 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) n n | x | | x | | x | | y | | y | | y | + + + + + + 2 2 2 2 =|| x || || y || 2 2 ( ) ( ) H || x y || x y x y + = + + 2 1 2 2 1 (2) ( ) n / i i || x || | x | = = 2 −范数 无穷范数
H =r xfr yty y y 1和+=1,则恒有不等式 ν≤-u+ q
返回 H H H H + + + | x x | | x y | | y x | | y y | 2 2 2 2 2 2 + + || x || || x || || y || || y || 2 2 2 2 = + ( ) || x || || y || 2 2 2 || x y || || x || | || + + | y 引理1 若 和 是非负实数， 和 是正实数，且 u v p q 1 1 p q, 1 1 p q 满足条件 和 ，则恒有不等式 + = 1 1 p q uv u v p q + H H H H = + + + x x x y y x y y
证wD≤「u2ba「" v/p-dv=+ vandy 0 +(-+ ly,(q/p)+1 L P P P 定义‖xn=②xP)1≤n<∞〈p-范数 i=1
返回 证 1 1/( 1) 0 0 u v p p uv u du v dv − − + −1 = p v u o v u / 0 1 v p q p u v dv p = + 1 1 ( / ) 1 ( 1) p q p q u v p p − + = + + 1 1 p q u v p q = + 定义 1 / 1 || || ( | | ) 1 n p p p i i x x p = = p −范数
定理1( Holder不等式)若p,q>1,且-+-=1, p q 则对C任意向量x=(x1,x2…,xn),y=(y1,y2 yn)都有 ∑x1y1s以|xP)"∑|yP) i=1 证u Lx y I lxll‖ylg Idyll P 1|x;P,1|y l≤i≤n P|xl|q‖yl
返回 .. 定理 不等式 1 (H older ) 1 1 p q, 1 1 p q 若 ，且 ， + = 1 2 1 2 ( , , , ) , ( , , , ) n T n T n C x x x x y y y y 则对 任意向量 = = 都有 1/ 1/ 1 1 1 | | | | ( | | ) ( | | ) n n n p p q q i i i i i i i x y x y = = = 证 | | | | , || || || || i i p q x y u v x y = = | || | || || || || i i p q x y x y 1 1 | | | | 1 || || || || p q i i p q p q x y i n p x q y +
x;‖ly; is1 l x lull y llg pllxlp isl ∑|xP+-,∑马門 q‖y 9 I=I +=1c ∑x11|C|x)∑)y 例2设x=(x1,x2…,xn)∈C",则 lxl,=C∑x1P)y1sp< 是C"上的向量范数,称为 Holder范数
返回 1 1 1 1 | | | | || || || || n n p q p q i i p q i i x y p x q y = = + 1 | || | || || || || n i i i p q x y = x y 1 1 1 p q = + =1/ 1/ 1 1 1 | | | | ( | | ) ( | | ) n n n p p q q i i i i i i i x y x y = = = 例 2 1 / 1 || || ( | | ) 1 n p p p i i x x p = = 1 2 ( , , , ) n n 设 ，则 x x x x C = Holder . .. 是C n上的向量范数，称为 范数
证 ∑(x1|+1P1D ∑x1x1|+1yD21+21x1|+1y1D21 ≤C|xP)"(x|+1y1Dy +C∑P)"z0x|+1y1D)y i=1 i=1
返回 证 1 1 1 1 1 (| | | |) | | (| | | |) | | (| | | |) n p i i i n n p p i i i i i i i i x y x x y y x y = − − = = + = + + + 1/ ( 1) 1/ 1 1 ( | | ) [ (| | | |) ] n n p p p q q i i i i i x x y − = = + 1/ ( 1) 1/ 1 1 ( | | ) [ (| | | |) ] n n p p p q q i i i i i y x y − = = + +
∑| ∑|yP)" ∑x1 +|p,p-1)qy1q(p-1)q=p ∑qx|+1y1D}=∑|)+(∑ P i=1 ∑(x+y2DP]≤∑(x1+1y1DPy x+yll≤‖ x‖ P
返回 1/ 1/ 1 1 [( | | ) ( | | ) ] n n p p p p i i i y y = = = + ( 1) 1/ 1 [ (| | | |) ] n p q q i i i x y − = + 1/ 1/ 1/ 1 1 1 [ (| | | |) ] [( | | ) ( | | ) ] n n n p p p p p p i i i i i i i x y y y = = = + = + ( p −1)q = p p n i p i i p n i p i i x y x y 1/ 1 1/ 1 [(| |) ] [(| | | |) ] = = + + || || || || || || p p p x y x y + +