习倮(二) 第十二章 二阶微分方程的 解法及应用 两类二阶微分方程的解法 =、微分方程的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二) 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章
兩类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法一降阶法 d dx2=/(x) 逐次积分求解 d dfy=f(x dx dy 令p(x) dx dp f(, p) dx dx d12=1,令Bm=y d dx dp f(, p) dx d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 ( ) d d 2 2 f x x y • = ) d d ( , d d 2 2 x y f x x y • = 令 x y p x d d ( ) = ( , ) d d f x p x p = ) d d ( , d d 2 2 x y f y x y • = 令 x y p y d d ( ) = 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.二阶线性微分方程的解法 齐次 常系数情形 代数法 非齐次 欧拉方程 x2y”+pxy+qy=f(x) 令x=e,Dq dt D(D-1)+pD+qly =f(e) 练习题:P327题2;3(6),(7) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 二阶线性微分方程的解法 • 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 • 欧拉方程 x y 2 + pxy + qy = f (x) t x e D t d d 令 = , = D(D −1) + pD + q y ( ) t = f e 练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示 P327题2求以y=C1ex+C2e2x为通解的微分方程 提示:由通解式可知特征方程的根为n=1,n2=2 故特征方程为(r-1)(r-2)=0,即r2-3r+2=0 因此微分方程为y"-3y+2 =0 P327题3求下列微分方程的通解 6)yy-y2-1=0,(7)y+2y+5y=sin2x 提示:(6)令y=p(y),则方程变为 dp y yp dyD-1=0,即Pdp_dr 1+p HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解答提示 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 (6) 1 0, 2 yy − y − = (7) y + 2y + 5y = sin 2x . 提示: (6) 令 则方程变为 1 0 , d d 2 − p − = y p y p 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(y+2y+5y=sin 2x 特征根: 1±2i, 齐次方程通解:Y=e(C1cos2x+C2sin2x) 令非齐次方程特解为y*=Acos2x+Bsin2x 代入方程可得A=M7,B=-47 原方程通解为y=eY(C1cos2x+C2sin2x) +icos 2x 17 sin 2x 思考 若(7)中非齐次项改为sinx,特解设法有何变化? 提示:sin2x= 1-cos 2x 故y*=Acos2x+Bsin2x+D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特征根: (7) y + 2y + 5y = sin 2x 齐次方程通解: ( cos 2 sin 2 ) 1 2 Y e C x C x x = + − 令非齐次方程特解为 代入方程可得 17 4 17 1 , A = B = − 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 故 y* = Acos 2x + Bsin 2x + D 原方程通解为 ( cos 2 sin 2 ) 1 2 y e C x C x x = + − 特解设法有何变化 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
C 0 P327题4(2)求解 =0,yx=0 提示令y=p(x)则方程变为=ap2 积分得-=ax+C1,利用px=0=y1x0=-1得C dy 再解 dx1+ar并利用yx0=0,定常数C2 3 0 思考若问题改为求解 x=0 0 0 则求解过程中得p-x同开方时正负号如何确定? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题4(2) 求解 0 2 y − ay = 0 , y x=0 = y x=0 = −1 提示: 令 则方程变为 积分得 , 1 C1 ax p − = + 利用 1 p x=0=y x=0 = − 得 C1 =1 再解 , 1 1 d d x ax y + − = 并利用 0 , y x=0 = 定常数 . C2 思考 若问题改为求解 0 , y x=0 = 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327题8设函数n=f(r),r=x2+y2+z2在r>0 内满足拉普拉斯方程 少×0 2 0,其中f(r) Ox 二阶可导,且f(1)=f(1)=1,试将方程化为以r为自变 量的常微分方程,并求f(r) au 提示:=f"(r) OX Q+2=f"()2+f(1r2 利用对称性,原方程可化为f"(r)+=f(r)=0 即 r2f"(r)+2rf(r)=0(欧拉方程) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题8 设函数 在 r > 0 内满足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 2 = + + z u y u x u 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: r x f r x u = ( ) = + 2 2 2 2 ( ) r x f r x u f (r) ( ) r 1 3 2 r x − 利用对称性, 即 ( 欧拉方程 ) 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2f"(r)+2rf()=0 解初值问题: f(1)=f(1)=1 令t=1nr,记D d 则原方程化为 dt [D(D-1)+2Df=0即[D2+D]f=0 通解f(r)=C1+C2e=C1+C 利用初始条件得特解: f(r)=2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求微分方程/1”+1y=x x< 2满足条件 少+4 0 yx=0=0,ykx=0=0,在x=处连续且可微的解 提示:当x≤时,解满足 '+y=x yx=0=0,yx=0=0 特征根:n2=± 设特解:y*=Ax+B,代入方程定A,B,得y=x 故通解为y=C1cosx+C2sinx+x 利用yx=0=0.,y1x=0=0,得 y=-sinx+x(x≤f) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y = C cos x +C sin x + x 1 2 特征根 : , 1,2 r = i 例1. 求微分方程 2 , y + y = x x 提示: 故通解为 2 4 0 , y + y = x 满足条件 解满足 y + y = x 0 , y x=0 = y x=0 = 0 处连续且可微的解. 设特解 : y = Ax + B, 代入方程定 A, B, 得 0, 0, 利用y x=0 = y x=0 = 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由x=处的衔接条件可知当x>时,解满足 +4y=0 1+ 其通解:y=C1sin2x+C 定解问题的解:y 2Sn2x+(1 (1-2)cos2x,x≥ 故所求解为 sinx+x, sin2x+(1-2)cos2x,x≥ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
处的衔接条件可知, y + 4y = 0 解满足 故所求解为 y = 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , − x + − x x y C sin 2x C cos 2x 其通解 = 1 + 2 : 定解问题的解: 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , y = − x + − x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束