第七节 第十一章 傳里叶數 三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数
三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动:y=Asin(Ot+φ)(谐波函数) (A为振幅,O为角频率,g为初相) 复杂的周期运动:y=Ao+∑ A. sir(mt+qn) (谐波迭加) An sin on cosnat+ An cos on sin not 7=A0, an=An sin n, 6n= An cos pn Ot=x 得函数项级数2+∑( an cosnx+binx k=1 称上述形式的级数为三角级数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……, cos nr, Sinx, 在[-x,上正交,即其中任意两个不同的函数之积在 -丌,丌]上的积分等于0 证:「1 cosnxdx=1 sin ndx=0(m=1,2,) cos kx cos nxdx cooo+x+okm)x」 ∫"cos(k+m)x+cos(k-n)x]dx=0(≠n) 同理可证: sin kx sin nx dx=0(k≠n) cos kx sinnxdx=o HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[丌,] 上的积分不等于0.且有 1ldx=2兀 丌 cos nx dx=丌 (n=1,2,…) sin2nxdx=丌 1+cos 2nx 1-cos 2nx cos nx= Sin nx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数,且 C f(x)=+>(an cos nx +bn sinx) 右端级数可逐项积分,则有 ∫f(x) cos nx dx(m=0,1,…) b f(r)sin ndx (n 证:由定理条件,对①在[-兀,丌逐项积分,得 f(x)do ao「dx+ 2an,fcos nx dx+bn, sin nx dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)d CnP丌 f(x)cos kx dx cos kxdx t 丌 ∑ cos kxcosnx dx+b, cos kxsinnxdx nJ-兀 -ak_ cos kx ax=aKit (利用正交性) k f(xcos kxdx (k=l, 2, .. 类似地,用 sin k x乘①式两边,再逐项积分可得 f(xsin kx dx (k=1, 2, . HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=o+2(an cos nx+bn sin nx 1(xf( (x) cos ndx(n=0,1,…) b f(xsinnxdx (n=1, 2, .. 丌n 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数;以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 HIGH EDUCATION PRESS 08 傅里叶目录 下页返回结束
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理3收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2m的 周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet)条件 )在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛,且有 注意:函数展成 傅里叶级数的条 ∑ a cos nx+ b. sin nx)件比展成幂级数 的条件低得多 x为连续点 f(x)+f(x x为间断点 其中anbn为f(x)的傅里叶系数.(证明略) 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 简介目录上页下页返回结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[丌,丌) 上的表达式为 f(x)= ∫-1,-z≤x<0 0<x<兀 将f(x)展成傅里叶级数 解:先求傅里叶系数 丌丌 f(x)cos ndx 0元 (1)cos nxd x+ 1- cos nxd x 0 (n=0,1,2,…) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
丌 f(r)sin ndx (1)sin nxdx+ 1. sin ndx 丌丌 0 cos nx cos nx [1 coSnTT 1 2 当n=1,3,5 [1-(-1)”]= 1丌 1 0,当n=2,4,6 f(x)=[sinx+sin3x+…+,si(2k-1)x+…] 3 2k-1 (-∞0<x<+∞0,X≠0,±,±2,…) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束