第九节 第八章 二元涵数的泰勒公式 二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章
二元函数的泰勒公式 元函数f(x)的泰勒公式 f(x+b)=f(x0)+f(x)+00h2+ n(xo f"( (xo +x) h"+ h'" (n+1) (0<6<1) 推广 多元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、二元函数的泰勒公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: + + = + + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0 1) 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
记号(设下面涉及的偏导数连续) (h+k)(x0,y0)表示hfx(x0,y10)+kf,(x0,y0) y (h0+k)2f(xo,y)表示 ax y h fxx(xo, yo)+2hk xv(xo, yo)+k fvy(xo, yo) 般地(hx+k)"f(x02y0)表示 ax cP hpk m-p a"f axPaym-P(xo, yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m + ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y xx + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − = • 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • 表示 表示
定理1.设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有直 到n+1阶连续偏导数,(xo+h,y+k)为此邻域内任 点,则有 f(xo+h, yo+k)=f(xo, yo)+(ha+k a)(o, yo +2i(hox+kav'f(o, yo)+ +i(ha+k a)"f(o, yo)+Rn 其中R n=(m+(ba2+k3)+(0+0,y+)② (0<6<1) ①称为在点(x,y的m阶泰勒公式②称为其拉格 朗日型余项 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y + + + 2 1 ! (h x + k y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x y + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + (0 1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证:令卯(1)=f(x+th,y+tk)(0≤t≤1 则0(0)=f(x0y0),(1)=f(x0+h,y0+k) 利用多元复合函数求导法则可得 p(t)=hf(o+ht, yo+kt)+kfy(xo+ht, yo+kt) >'(0)=(ha+ka)f(xo, yo) p(t)=hxx(xo+ht, yo +kt) +2hkfxv(xo+ ht, yo+kt +k'fvy(xo+ht, yo+ kt (0)=(h+k2,)2f(xo,yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证: 令 ( ) ( , ) (0 1), t = f x0 + th y0 + tk t 则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0 = f x y = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt = xx + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x y = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一般地, )=∑ Cm hk- p=0 Orm-p(o+ht, yo+kt) →9m(0)=(h2+ka2,)"f(xo2y) 由q(t)的麦克劳林公式得 0()=(0)+(0)+1”(0)+…+1,(O (n+1) (n+1)! (0<6<1) 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( , ) ( ) C 0 0 0 ( ) x y x ht y kt f t h k p m p m p m p m p p m m + + = − − = 一般地, (0) ( ) ( , ) 0 0 ( ) h k f x y m x y m = + 由 (t) 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: (1)余项估计式因f的各n+阶偏导数连续,在某闭 邻域其绝对值必有上界M,令p=h2+k2,则有 M Rn≤ n+l h=pcos (n+1) th+k) k= sina M n+1 O cosal+sina/n+l (n+1) 利用max(x+1-x2)=2 M n+1n+1 (n+1) 0(p") HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 1 ( ) ( 1)! + + + n n h k n M R = = sin cos k h 1 1 ( cos sin ) ( 1)! + + + + = n n n M max( 1 ) 2 [0,1] 利用 x + − x 1 1 ( 2) ( 1)! + + + n n n M ( ) n = o = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)当n=0时得二元函数的拉格朗日中值公式 f(x0+h,y+k)-f(x0,y0) hf(o +Oh, y0+0k)+kf,(o+eh, yo+8k) 0<<1) (3)若函数z=f(x,y)在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零,由中值公式可知在该区域上f(x,y)=常数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y ( , ) 0 0 h f x h y k = x + + ( , ) 0 0 k f x h y k + y + + (0 1) (3) 若函数 z = f (x, y) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)的三阶泰 勒公式 解:fx(x,y)=f(x,y) 1+x+ fx(, y)=fry(,y)=fyy(x, y) (1+x+y f ax°ay3p (p=0,1,2,3) (1+x+y xPoy4-p (1+x+y) (p=0,1,2,3,4) 因此,(h2+k,)f(0.0)=hf(0)+kf,(0,0)=h+k HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y)在点(0,0) 解: x y f x y f x y x y + + = = 1 1 ( , ) ( , ) 的三阶泰 勒公式. 2 (1 ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y xx x y y y + + − = = = 3 3 3 (1 ) 2! x y x y f p p + + = − ( p = 0,1,2,3) 4 4 4 (1 ) 3! x y x y f p p + + − = − ( p = 0,1,2,3,4) 因此, (h k ) f (0, 0) x y + (0, 0) (0, 0) x y = h f + k f = h + k 机动 目录 上页 下页 返回 结束
ar th o )2f(0, h2fx2(0,0)+2hkfx3(0,0)+k2fy,(0)=-(h+k)2 (ha+k)3f(0.0)=∑C3h"k3 f 0 ax2ay3-P(0.0) 2(h+k)3 又f(0,0)=0,将h=x,=y代入三阶泰勒公式得 ln(1+x+y)=x+y-(x+y)2+(x+y)3+R 2 其中 R3=(h+ka)4 (x+ f(eh, 0k)h y) ax 4(1+6x+y) (0<6<1) k HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( ) (0, 0) 2 h k f x y + ( ) (0, 0) 3 h k f x y + (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0) 2 2 xx x y y y = h f + hk f + k f (0,0) C 3 3 3 3 0 3 p p p p p p x y f h k − − = = 2 = −(h + k) 3 =2(h + k) 又 f (0, 0) = 0,将h = x, k = y代入三阶泰勒公式得 ln(1+ x + y) = x + y 2 ( ) 2 1 − x + y 3 3 ( ) 3 1 + x + y + R 其中 ( ) ( , ) 4 3 R h k f h k x y = + 4 4 (1 ) ( ) 4 1 x y x y + + + = − k y h x = = (0 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束