同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第八章 多元函数微分法及其应用（8.4）复合求导

第四节 第八章 多元复合菡数的求导法则 一元复合函数y=f(l),u=0(x) 求导法则 dvdv d d yx du dx 微分法则dy=f(l)dl=f(l)2(x)dx 本节内容 多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章

多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数=0(),v=v(1)在点t可导,z=f(l,) 在点(2y)处偏导连续,则复合函数z=f((),y(m) 在点t可导,且有链式法则 dz az du az dv dt au dt av dt 证:设取增量41,则相应中间变量 有增量4u,△v, △z △+△+o(Pp)(P (Aa)2+(△)2) au HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v

△zz△,Oz△,o(P) (p=√(△M2+(△y2) ∧tau△tav△t△t 令∧t→>0,则有△→0,A→>0, △du△vdv △tdt△tdt 0(P)0(p) △ →)0 △t △ △t (4t<0时根式前加“-号) dz az du az dy dt Ou dt av d/(全导数公式) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

说明:若定理中f(l21)在点(u,1)偏导数连续减弱为 偏导数存在,则定理结论不一定成立 +y≠0 例如:z=f(l,v)= 0 L2+y2=0 u=t. v=t az 易知cm,(00500=0 O/(O)≈f(00)=0 但复合函数z=f(t,t) dz 1 az du az dv dt 2 au dt av dt =0·1+0.1=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立

推广:设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如,z=f(l,v,), =((1),=v(1),=0() dz az du az dv az d dt au dt av dt ow dt u y 1 fio+f2y+f3a 2)中间变量是多元函数的情形例如, f(u,v,u=o(x,y), v=y(,y azaz au az ax au ax ay ax fior+f? azaz au az av fios+fvs x yx y 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t)

又如,z=f(x,v),v=v(x,y) 当它们都具有可微条件时,有 f azof,af ax ax 升+f2 2 x y Ov ay 注意:这里与不同 ax ax 表示固定y对x求导 f 表示固定ν对x求导 口诀:分段用乖,分叉用加,单路全导,叉路偏导 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设z=e"sinv,u=xy,v=x+ y求a az az ou az av ox ay 解 x Ou ox av ax =e sinvy+e cos v ely. sin(x+ y)+ cos(x+ y) azaz Ou az av y Ou Oy Ov ay x yx y u =e sinv.x +e coS v x elx. sin(x+ y)+cos(x+y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.=(xy=e-x2+2+2,== x sin y,求oa dx ay 解 iu af, af az x ax az ax 2xe ty +2 +2ze ty t= 2xsin y 2x(1+2x sin y)et +y2+x4 y ou af af az x y y ay dz dy eye +2ze x cosy =2(y+x sin y cos y)e ty tx sin y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设z=+5m0,m=e,”=co,求全导数 dt dz az du az dv a 解 dt au dt ay dt at =ve-usin t +cos t e(cost-sint)+cost 注意:多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 z = uv + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设W=f(x+y+2,xy2),具有二阶连续偏导数, 求 .f1,f2 ax axo 解:令u=x+y+z,v=xy2,则 v=f(2) x yyz ax =f1·1+f2·yz fi(x+y+z, xyz)+yzf(x+y+z, xyz) axa f11+f12xy+yf2+y2[/21·1+f2xy fil+y(x+zf12+xy'zf22+yf2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z xyz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f  机动 目录 上页 下页 返回 结束