习题倮 第六章 定积分的应用 1.定积分的应用 几何方面:面积、体积、弧长、表面积 物理方面:质量、作功、侧压力、引力 转动惯量 2.基本方法:微元分析法 微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六章
例.求抛物线y=1-x2在(0,1)内的一条切线使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解:设抛物线上切点为M(x,1-x2) 则该点处的切线方程为 B Y-(1-x2)=-2x(X-x) M 它与x,y轴的交点分别为 4(x2+,O),B(0,x2+1) 2x 所指面积 s(x) (x2+1)2 (1-x2)dx (x-+1) 4x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S"(x)=4x (x2+1)·(3x2-1) 令S(x)=0,得[0,1上的唯驻点x=3 B x3,S(x)>0 x 因此x=是S(x)在[0上的唯一极小点, 且为最小点.故所求切线为 2√34 Y X+ 3 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2设非负函数f(x)在[0,1上满足xf(x)=f(x) +2x2,曲线y=f(x)与直线x=1及坐标轴所围图形 面积为2 (1)求函数f(x); 2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体 体积最小? 解:(1)当x≠O时,由方程得 xf(x)-f(r) 3 f(x) 即[ 故得(x)=ax2+Cx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又2=f( X)ar ax+Cx)dx C=4-a f(x)=ax2+(4-a)x (2)旋转体体积 丌;1 V=L If(x)dr a2+a+16 310 令V a+1)=0,得a=-5 O 35 又 >0 15 a=-5为唯一极小点,因此a=-5时取最小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . x o y 1 x o y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.证明曲边扇形0≤∝≤θ≤B,0≤r≤r(O),绕极轴 旋转而成的休积为n=2z(0) )sin 0de 证:先求,0+dO1上微曲边扇形 r(6) 绕极轴旋转而成的体积do d 体积微元rdbd.2 rsin e (6) d=2丌 sin ed0 r-dr 2丌 r(O)sin ede 故V 2丌rB r(0)sin ede HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 证明曲边扇形 绕极轴 ( )sin d . 3 2 3 = V r ox r = r( ) x d d r 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 r 故 = ( )sin d 3 2 3 V r ox 旋转而成的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求由y=2x与y=4x-x2所围区域绕y=2x 旋转所得旋转体体积 解:曲线与直线的交点坐标为A(2,4),曲线上任一点 P(x,4x-x2)到直线y=2x的距离为 X 以y=2x为数轴(如图,则 =4x-x dv=tpdu (du=v5 dx) d 丌·(x x)2√5dx d x 2 故所求旋转体体积为 V=T5(x2-2x)25dx 16 学 HIGH EDUCATION PRESS 75 08 机动目录上页下页返回结束
y = 2x 2 y = 4x − x o (du = 5 d x) 故所求旋转体体积为 (x 2x) 5d x 2 2 5 1 = − 5 75 16 V (x 2x) 5d x = 2 2 2 0 5 1 = − dV du 2 = A P d x 2 du 例4. 求由 y = 2x 与 2 y = 4x − x 所围区域绕 y = 2x 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2,4), 曲线上任一点 ( ,4 ) 2 P x x − x 到直线 y = 2x 的距离为 以y = 2x为数轴 u (如图), u 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.半径为R,密度为P的球沉入深为H(H>2R) 的水池底水的密度p<p,现将其从水池中取出,需做 多少功? 解:建立坐标系如图则对应[x,x+dx] 上球的薄片提到水面上的微功为 dWi=(p-po)gydx(H-R+x) H (p-Po)gT(R-x(H-R+x)dx 提出水面后的微功为 微元体积 dW2= pgry'dx·(R-x) 所受重力 pgr(R2-r2 (R-x)dx上升高度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 [x, x + dx] 上球的薄片提到水面上的微功为 dW1 = y dx 2 提出水面后的微功为 dW2 g d ( ) 2 = y x R − x g (R x )(R x)dx 2 2 = − − ( )g (R x )(H R x)dx 2 2 = − 0 − − + H (x, y) x x y o 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 ( − 0 )g (H − R + x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此微功元素为 dw=dwi+dw2 g[(p-Po)H+ Po(R-x)I(R2-x2)dx 球从水中提出所做的功为 R W=g[p-Po)H+Po(R-x)I(R-x)dx R “偶倍奇零 2gz[(p-Po)H+PoR(R2-x2)dx H 丌R[(p-P0)+p0Rg 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
因此微功元素为 dW = dW1 + dW2 球从水中提出所做的功为 W H R x R x x R R [( ) ( )]( )d 2 2 = − 0 + 0 − − − g “偶倍奇零” R x x R ( )d 2 2 0 − 2g [( ) ] = − 0 H + 0R H x o x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.设有半径为R的半球形容器如图 (1)以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为 为h(0<h<R)时水面上升的速度 (2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最 少应为多少? 解:过球心的纵截面建立坐标系如图 则半圆方程为 2Ry R 设经过t秒容器内水深为h,则h=h(t) h X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. o x y 则半圆方程为 h R 设经过 t 秒容器内水深为h , 则h = h(t). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
