第五节 第三章 函数的极值与 最大值最小值 、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章
函数的极值及其求法 定义:设函数f(x)在(a,b)内有定义,x∈(a,b) 若存在x0的一个邻域,在其中当x≠x时 1)∫(x)f(x0),则称x为f(x)的极小点 称f(xo)为函数的极小值 极大点与极小点统称为极值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如(P146例4) f(x)=2x3-9x2+12x-3 x=1为极大点,f(1)=2是极大值1 2为极小点,f(2)=1是极小值o 注意:1)函数的极值是函数的局部性质. 2)对常见函数极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 x3不是极值点 oax, x x2 x xs bx 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1(极值第一判别法) 设函数f(x)在x的某邻域内连续,且在空心邻域 内有导数,当x由小到大通过x0时, (1)f(x)“左正右负”,则f(x)在x取极大值 (2)f(x)“左负右正”,则f(x)在x取极小值; (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停
例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解:1)求导数f(x)=x3+(x-1)·2x3=.x3 2)求极值可疑点 令f(x)=0,得x1=3;令f(x)=0,得x2=0 3)列表判别 (-∞,0)0(0,云) +∞) f(x)+ 0 X 0.33 x=0是极大点其极大值为f(O)=0 x=是极小点其极小值为f(3)=-0.33 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2(极值第二判别法)设函数f(x)在点x处具有 二阶导数,且f(x0)=0,f"(x0)≠0 若r(n)0,则f(x)在点x0取极小值 证:(1)r(x)=1m()/(x)=1im(x x->x0 x> x-xo 由f"(x0)0,当00 当x0<x<x+时,f(x)<0, xos x 0 xto 由第一判别法知∫(x)在x取极大值 (2)类似可证 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值 解:1)求导数 f(x)=6x(x2-1)2,∫"(x)=6(x2-1)(5x2-1) 2)求驻点 令f(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0 3)判别 因∫"(O)=6>0,故f(0)=0为极小Y值; 又f"(-1)=f"()=0,故需用第一判别法判别 由于f(x)在x=土1左右邻域内不变号, f(x)在x=土1没有极值 HIGH EDUCATION PRESS 90@ 机动目录上页下页返回结
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6( 1)(5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f (x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f (0) = 6 0, 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0, 故需用第一判别法判别. 1 x y −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3(判别法的推广)若函数f(x)在x0点有直到n阶导 数,且f(x0)=f"(x0)=…=f(n)(x0)=0,f(0(x0)≠0 则:1)当n为偶数时,x为极值点,且 f((xo)>0时,x是极小点; f(o)<0时,x是极大点 2)当n为奇数时,x不是极值点 证:利用(x)在x点的泰勒公式,可得 f(x)-f(x0)=0(x-x)y+o(x-x0)") 当x充分接近x时,上式左端正负号由右端第一项确定 故结论正确 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理3 (判别法的推广) ( ) 0, 0 ( ) f x n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ++ n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x − + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
例如,例中f(x)=(x2-1)3+1 f"(x)=24x(5x2-3),f"(±1)≠0 所以x=±1不是极值点 说明:极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的 当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在 例如: 2-x2(2+sin1),x≠0 1.998 f(x) 0 1.995 f(0)=2为极大值,但不满足定理1 定理3的条件 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例如 , 例2中 ( ) 24 (5 3), 2 f x = x x − f (1) 0 所以 不是极值点 . 说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件. x y −1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、最大值与最小值问题 若函数∫(x)在闭区间[a,b上连续,则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法 l)求f(在(内的极值可疑点 X1,x, (2)最大值 M=max f(x1),f(x2),,f(m),f(a),f(b)) 最小值 m=minff(x1),f(x2),,f(xm),f(a),f(b) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束