第一章 第五节 极限运算法则 无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证:考虑两个无穷小的和设ima=0,limB=0 VE>0,361>0,当00,当0x0时,a+B为无穷小量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证有限个无穷小之和仍为无穷小 说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小! 例如, lim/1 ∴ n→>(n2+丌n2+2丌 n+n丌 (P56,题4(2)) 解答见课件第二节例5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设xeU(xo,61),l≤M 又设lma=0,即VE>0,32>0,当x∈U(xo,62) x→)x 时有a≤ 取δ=mn{61,62,则当x∈Ux,δ)时,就有 lC|=ua≤M.6 故 lim ua=0,即a是x→>x时的无穷小 x→>x 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求lim x→>00 sinx 解::sinx|≤1 xX Im 0 x->0X 利用定理2可知limx=0 x→)00 X sinx 说明:y=0是y 的渐近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、极限的四则运算法则 定理3.若imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证:因imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x=A+a, g(x)=B+B (其中a,B为无穷小) 于是f(x)±g(x)=(4+a)±(B+B) =(A±B)+(a±B) 由定理1可知a±β也是无穷小,再利用极限与无穷小 的关系定理,知定理结论成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论:若imf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x) 则A≥B.(P45定理5) 提示:令(x)=f(x)-8(x 利用保号性定理证明 说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)= lim f(r)ling(x)=AB 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)=Clmf(x)(C为常数) 推论2.lim[f(x)=[limf(x)]n(n为正整数) 例2设n次多项式Pn(x)=a0+a1x+…+anx",试证 lim P(x)=P(xo) 证: lim p.(x)=a0+a1limx+…+ a. lim x x→>x0 x-x Pn(o) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5.若lmf(x)=A,img(x)=B,且B=0,则有 limf(x)=limf(x) g(x) lim g(x) B 证:因 lim f(x)=A,img(x)=B,有 f(x)=A+a,g(x)=B+B,其中a,B为无穷小 设y f(x)AA+a A (Ba-AB) g(x)BB+BBB(B+B)无穷小 有界 因此y为无穷/J(x)A tr g(x) B 由极限与无穷小关系定理,得ln(x)A1imf(x) g(x)B ling(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理6.若lmxn=A, lim y=B,则有 n→) n→0 (1)im(xn±yn)=A±B n→>O (2)lim xnyn=AB 3)当1yn≠0且B≠0时,1imxn=4 n→0 y B 提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x y → n n n x y → (2) lim (3) 当y 0且B 0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
