第二章小结与练习
季矩阵 线 实矩阵复矩阵 单位矩阵 矩列矩阵 对角矩阵 库换念 型矩相等矩 量矩阵「 三角類阵 加m 线性运算 负矩阵 性转置 阵回 距前换 华随矩 库汲方阵的列式 初等变换何梯形矩阵 查感绸 到四 草性 矩期矩 麻解标准司團
、矩阵的定义 定义由数域F中的mxn个数a;(i=1,2,…m; j=1,2,…,n)排成的所列的矩形数表,称为数域 F中的一个mxn矩阵 记作:A=(a) mxn Amxn(an) 注:实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、 方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等. 二、几种特殊的矩阵 1)零矩阵 mn个元素全为零的矩阵称为零矩阵 2)对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵
一、矩阵的定义 定义 ( ) A a = ij m n ）排成的 m 行 列的矩形数表，称为数域 n 由数域 F 中的 m n 个数 aij （ i m = 1,2, , ; j n = 1,2, , 记作： A m n ( )ij a F中的一个 m n 矩阵. 注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、 方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等. 二、几种特殊的矩阵 1）零矩阵 m n 个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 2）对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵
3)单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵 4)数量矩阵 主对角线上的所有元素全为、的对角阵称为数量阵. 5)三角矩阵 三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵 6)负矩阵 7)对合矩阵 设A为n阶方阵,如果A2=E,则称矩阵为对合矩阵 8)正交矩阵 设A为n阶方阵,如果A'A=E,则称矩阵为正交矩阵 9)幂等矩阵 设A为n阶方阵,如果A=A,则称矩阵为幂等矩阵
3）单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵. 4）数量矩阵 主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为数量阵. 5）三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵. 6）负矩阵 7）对合矩阵 2 设Ａ为ｎ阶方阵，如果 A E = ，则称矩阵为对合矩阵. 8）正交矩阵 T 设Ａ为ｎ阶方阵，如果 A A E = ，则称矩阵为正交矩阵. 9）幂等矩阵 2 设Ａ为ｎ阶方阵，如果 A A = ，则称矩阵为幂等矩阵
10)阶梯形矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵: 1)若有零行(元素全为零的行),位于底部 2)各非零行的首非零元位于前一行首非琴元之右 11)行最简形矩阵 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵 1)行阶梯形矩阵 2)各非零行的首非零元均为1 3)首非零元所在列其它元素均为0 12)标准形 称满足下列两个条件的矩阵为标准形: 1)左上角为单位阵;2)其它元素均为0
称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵： 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部； 10）阶梯形矩阵 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： 1）行阶梯形矩阵 11）行最简形矩阵 2）各非零行的首非零元均为1. 3）首非零元所在列其它元素均为０. 称满足下列两个条件的矩阵为标准形： 1）左上角为单位阵； 12）标准形 ２）其它元素均为０
三、矩阵与线性变换的关系 n个变量x1,x2…,x阶变量y1,y2,…”,ym 之间的关系式 y1=a1x1+a12x2+…+a1nn ,1X1+a 21 1 222 …十u2,X ym=mx1+am2X2+…+amxn 表示一个从变量x1,x2,…,x到变量y,y2,…,ym 一个线性变换. 其中常数 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系
= + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x 三、矩阵与线性变换的关系 之间的关系式 1 2 1 2 , , , , , , n x x x m y y y 个变量 n m 与 个变量 一个线性变换. 1 2 1 2 , , , , , , n m 表示一个从变量 x x x y y y 到变量 ij 其中 a 为常数. 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系
四、短阵的运算 1、加法若A=(a1)mxn,B=(b;)mwn 规定A+B=(an+b2)mn 注意只有同型矩阵才能进行加法运算 2、数乘若A=(an)n,A∈R, 规定AA=A=(an)mxn 3、乘法若A=(a1)m,B=(b;) 规定AB=C=(cn)mn, 其中c=anb+a2b21+…+ab∑anb k=1 (i=1,2 1,2,…,n
四、矩阵的运算 1、加法 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. ( ) A B a b + = +ij ij m n ( ) , ( ) 若 A a B b = = ij m n ij m n ， 规定 2、数乘 ( ) , , A a R = ij m n ( ) A A a = = ij m n 若 规定 3、乘法 ( ) , AB C c = = ij m n ( ) ( ) , 若 A a B b = = ij m n s s ， ij 规定 1 1 2 2 1 ij i j i j is sj ik kj c a b a b a b a b = = + + + ｓ ｋ 其中 ＝ （i m j n = = 1 2 1 2 ，， ，； ，， ，）
幂若A=(n)m,∈Z,规定A=AA4…4 注:1、-般短阵的幂无意义,除了方阵 2、k只能是正整数 5、转置 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵, 叫做A的转置矩阵,记作A1,0r.A 设A为n阶方阵,若A=,即 那么A称为对称矩阵 设A为n阶方阵,若A=即 那么A称为反对称矩阵
4、幂 k k A a k Z ( ) , , ij n n A AA A = + 若 = 规定 注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. 2、ｋ只能是正整数. 把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵， 叫做Ａ的转置矩阵，记作 A or A . . . 5、转置 设Ａ为ｎ阶方阵，若 A A T = ，即 ， ij ji a a = 那么Ａ称为对称矩阵. T A A = − ij ji 设Ａ为ｎ阶方阵，若 ，即 a a ， = − 那么Ａ称为反对称矩阵
6、方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的 行列式(各元素的位置不变)叫做方阵A的行列式 记作A1,mr.DetA 7、伴随矩阵行列式的各个元素的代数余子式 A所构成矩阵的转置 记作A=2 n2 In 8、共轭矩阵 n nn 当A=(为复矩阵时,用表乐的共轭 复数,记A=(an),A称为舶共轭矩阵
行列式 的各个元素的代数余子式 所构成矩阵的转置. A Aij ７、伴随矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 记作 ８、共轭矩阵 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭 复数，记 ， 称为 的共轭矩阵. ( ) A = aij ij a aij ( ) A = aij A A 6、方阵的行列式 行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式. 记作 A or D A . . et 由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的
五、逆矩阵的概念和性质 1、定义 对于阶矩阵A如果有一个阶矩阵,B 使得 AB= BA=E 则称矩阵是可逆的,并把矩阵配为的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 2、性质 定理1若矩阵可逆,则|4≠0 定理2矩阵柯逆的充要条件是4去 A',其中4为矩阵A的伴随矩阵
五、逆矩阵的概念和性质 使得 AB BA E = = , 的逆矩阵记作 1 A . − A 1、定义 对于 n 阶矩阵 ，如果有一个 A 阶矩阵 n ， B 则称矩阵 A 是可逆的， 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 定理1 若矩阵 A 可逆，则 A 0. 定理2 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ， 0 且 1 1 A A , A − = A A 其中 为矩阵 的伴随矩阵. 2、性质
