第一的肉积 肉积的定义和性质 二向量的长与角 三正突向量组 应用举倒 亚正突矩阵与正突换
、内积的定义与性质 1、定义 b, 设n维实向量a=:2,B 称实数 a1b1+a2b2+…+ab为向量内积,记作[a,] 注:内积是向量的一种运算,用矩阵形式表示,有 a,月=(a1a2 ):|=a′
一、内积的定义与性质 1、定义 设ｎ维实向量 称实数 1 1 2 2 , , n n a b a b a b = = , . 1 1 2 2 n n a b a b a b + + + 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 ( ) 1 2 1 2 . T n n b b a a a b = =
2、性质 (1)对称性:[a,6=[B,a] (2)线性性:[a+y]=[a,n]+[B, [ka,]=k[a,] (3)正定性:[a,a]20,当且仅当a≠0时a,a]>0 二、向量的长度与夹角 1、长度的概念 令|l|=a, 1+a +…a2为n维向量a 的长度(模或范数) 特别长度为1的向量称为单位向量
２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念 , , = + = + , , , k k , , = , 0, 当且仅当 0 时 , 0. 二、向量的长度与夹角 2 2 2 1 2 , n 令 = = + + a a a 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量
2、性质 (1)正定性 a≥0且a=0÷a=0 (2)齐次性:a|=k|l; (3)三角不等式:|a+川≤|a‖+|6; (4)柯西-施瓦兹( Cauchy-cwrz)不等式: a,)≤l,即[a,s[a,l[,川] 当且仅当屿的线性相关时,等号成立 注④当a≠0时,=ma是的单位向量 ②由非零向量a得到单位向量a=ma的过程 称为把a单位化或标准化
（1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 = = 0; 0 0 且 ； k k = ; + + ; （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式: 2 2 2 , , 2 即 , , , 当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 注 ①当 0 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 0 1 = 0 1 = 称为把α单位化或标准化. 的过程
3、夹角 设o与B为n维空间的两个非零向量,a与β的夹 B 角的余弦为co01y,因此与的夹角为 6 a,B arccos a|‖ ,0≤6≤兀. 例a=(1223),月=(3151),求∠(a,B) 18 元 解 , cos 0={a, alB3√26√2 ∴6= 练习a=(-1111),B=(1110),求∠(a,B)
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 角的余弦为 , cos , = 因此α与β的夹角为 , arccos ,0 . = 例 = = (1 2 2 3 , 3 1 5 1 , , . ) ( ) 求 ( ) , cos 解 = 18 3 2 6 = 1 2 = . 4 = ( 1 1 1 1 , 1 1 1 0 , ) ( ) 求( , ). T T 练习 = − = −
三、正交向量组 1、正交 当[a,6]=0,称屿交 注④若α=0,则a任何向量都正交 ②a⊥a分a=0. 对非向量屿β,a⊥B台∠(a,B) 2、正交组 2 若向量组中的向量两两正交,且均为非零向量,则 这个向量组称为正交向量组,简称正交组 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组
三、正交向量组 1、正交 当 , 0 = ，称α与β正交. 注 ① 若 = 0 ，则α与任何向量都正交. ② ⊥ = 0. ③ 对于非零向量α与β， ( , . ) 2 ⊥ = 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组
4、性质 定理正交向量组必为线性无关组 定理若向量巧a1,a2a,中每个向量都正交,则 a、的任一线性组合也正交 5、正交基 若正交向量组a1,a2…,C为向量空间V上的一个基, 则称a1,a2,…,,为向量空间V上的一个正交基 6、标准正交基 若标准正交组4152,…,5为向量空间V上的一个基 则称51,52,…,5为向量空间V上的一个标准正交基
定理 4、性质 正交向量组必为线性无关组. 定理 若向量β与 β与 1 2 , , , s 中每个向量都正交，则 的任一线性组合也正交. 1 2 , , , s 5、正交基 若正交向量组 1 2 , , , r 则称 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 1 2 , , , r 为向量空间Ｖ上的一个基， 6、标准正交基 若标准正交组 1 2 , , , r 则称 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基. 为向量空间Ｖ上的一个基， 1 2 , , , r
7、施密特( Schmidt)正交化法 设a1,a2…,C是向量空间V的一个基,要求向量空 间V的一个标准正交基,就是要找到一组两两正交的单 位向量51,52…,5,,使51,52…,5,与a1,a2,…a,等价 此问题称为把a1,a2,…a,这组基标准正交化 1)正交化 令月1= B2 19 2 B1,B1 [月 29 月,月]1[ B2 B B2,B2 B=:,B2
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 2 , , , r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 2 , , , r ，使 1 2 , , , r 与 1 2 , , , r 等价， 此问题称为把 这组基标准正交化. 1 2 , , , r 1）正交化 令 1 1 = 1 2 2 2 1 1 1 , , = − 1 2 1 r 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , , , , , r r r r r r r r − − − − = − − − −
则B1,月2,…,B两两正交,且与a1,a2;…,a,等价 2)标准化 B1,52 29 就得到V的一个标准正交向量组 如果a1,a2,…,C是V的一组基,则51,52,…,5,就是 L的一组标准正交基 上述方法称为施密特( Schmidt)正交化法 注上述方法中的两个向量组对任意的1≤k≤r, 51252,…,5与a1,a2…,Ck都是等价的
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. Ｖ的一组标准正交基. 如果 上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法. 2）标准化 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , , r r r 令 = = = 1 2 , , , r 是Ｖ的一组基，则 1 2 , , , r 就是 注 则 两两正交，且与 1 2 , , , r 等价. 1 2 , , , r 上述方法中的两个向量组对任意的 1 , k r 1 2 , , , k 与 1 2 , , , k 都是等价的
四、应用举例 例1证明:R"中,勾股定理|x+y=|x+|y2成立 的充要条件是x,y正交 解‖x+y2=[x+y,x+y=[x,x]+[y,小]+2[x,y |x2+|y2+2[x,y 所以|x+川1=|x+成立的充要条件是[xy]=0, 即x,y正交 例2已知三维向量空间中,a1=1,a2=-2正交, 试求a3,3α1,C2,C3是三维向量空间的一个正交基
四、应用举例 例1 证明： R n 中，勾股定理 2 2 2 x y x y + = + 成立 的充要条件是 x y, 正交. 解 2 x y x y x y + = + + , = + + x x y y x y , , 2 , 2 2 = + + x y x y 2 , 所以 2 2 2 x y x y + = + 成立的充要条件是 x y, 0, = 即 x y, 正交. 已知三维向量空间中， 1 2 1 1 1 , 2 1 1 = = − 例2 正交， 试求 3 1 2 3 , , , 是三维向量空间的一个正交基