第慕縓阵的初等与秩 消元法 二矩阵的初等变换 三矩阵的秩 应用举倒 五小结 六思耇
课前复习 1、矩阵的逆AA=AA=E 2、分块对角矩阵 1)4=A14.1;2) 3)若A= ,则 A1 4)若A= 则A
课前复习 1、矩阵的逆 1 1 AA A A E − − = = 1 A A A − = 2、分块对角矩阵 1 2 ; A A A A = s 1） 1 1 1 1 ; s A A A − − − = 2） 1 , s A A A = 1 1 1 1 ; As A A − − − = 3）若 4）若 1 , s A A A = 1 ; n n n s A A A = 则 则
3、线性方程组的几种形式 T Ax= b 129°9 b 4、A的乘法 T m4,=(1a1…an) nXn n1 1
3、线性方程组的几种形式 Ax b = 1 1 2 2 T T T m m b b x b = ( ) 1 2 1 2 , , , n m x x b x = 4、 A m n 与 的乘法 Λ 1 1 2 2 T T m m n T m m Λ A = A m n n n n Λ = ( 1 1 )
消元法解线性方程组 引例求解线性方程组 2x,-x,-x2+x,=2 x,+x,-2x,+x,=4 ②(B) 4x,-6x,+2x2-2x=4③ 3x1+6x2-9x3+7x4=9④ X,+r 2-2x3+ 解()02二+x=2,②(2) ③ 3x,+6x2-9x2+7x,=9a4
引例 求解线性方程组 一、消元法解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = ④①②③ 解 ④①②③ ① ② ③ 2 1 2 3 4 2 2 x x x x − − + = 1 2 3 4 x x x x + − + = 2 4 1 2 3 4 2 3 2 x x x x − + − = 1 2 3 4 3 6 9 7 9 x x x x + − + = (B) (B) (B1 )
x+x,-2x+x=4④ ②-③ 2x2-2x3+2x4=0② ③-2① B 5x,+5x3-3x1=-6③ 2 ④-3④ 3x2-3x3+4x4=-3④ x1+x2-2x3+x4=4 ②÷2 x,-x1+x,=0② ③+5② 2x,=-6③ 3 ④-3② -3 ③÷2 x1+x2-2x3+x4=4 2 3 4 0 ④-③ ④③②③④ (B) -3 0=0
④①②③ 1 2 3 4 x x x x + − + = 2 4 ③ ① ( B 2 ) − 2 ④ − 3 ① 2 3 4 2 2 2 0 x x x − + = ② − ③ 2 3 4 − + − = − 5 5 3 6 xxx 2 3 4 3 3 4 3 xxx − + = − ④①②③ 1 2 3 4 x x x x + − + = 2 4 ③ ② ( B 3 ) + 5 ④ − 3 ② 2 3 4 x x x − + = 0 4 2 6 x = − 4 x = −3 ② 2 ④①②③ 1 2 3 4 x x x x + − + = 2 4 ( B3 ) 2 3 4 x x x − + = 0 4 x = − 3 0 0 = ③ 2 ④ − ③
=x,+4/. x,=x2+3 3 to 3 其中c为任意常数 总结1、上述解方程组的方法称为高斯消元法 2、始终把方程组看作一个整体变形,用三种变换 (1)交换方程次序; (2)以不等于0的数乘某个方程 (3)一个方程的k倍加到另一个方程 3、这三种变换均可逆 4、方程组的变换可以看成矩阵的变换
1 3 2 3 3 3 4 4 3 3 x x x x x x x = + = + = = − 1 2 3 4 x x x x x = 即 1 4 1 3 1 0 0 3 c = + − 其中ｃ为任意常数. 总结 1、上述解方程组的方法称为高斯消元法． 2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程． 3、这三种变换均可逆. 4、方程组的变换可以看成矩阵的变换
矩阵的初等变换( Elementary Transformation) 1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换。￠RT (1)互换两行:F4 (2)数乘某行:rxk (3)倍加某行:r+k 同理,把换成可定义矩阵的初等列变换 ECT 定义短阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵 的初等变换 ET 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同 片逆变换咛;FXk逆变换r×( k 厂+r;逆变换=kr
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换. i j （1）互换两行： r r （2）数乘某行： ri k （3）倍加某行： i krj r + 二、矩阵的初等变换（Elementary Transformation） 定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵 的初等变换． 同理，把 r 换成 可定义矩阵的 c 初等列变换. ERT ECT ET i j r r r k ri rj ; i 1 ( ); i r k i j r + kr . i j r kr − 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换
定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价,记作A~B 等价关系的性质: (1)反身性:A~A; (2)对称性:讥A~B,→B~4 (3)传递性:订A~B,B~C→A~C. 具有上述三条性质的关系就称为等价 定理利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵 利用初等行变换,也可把矩阵化为行最简形矩阵 利用初等行变换,再利用初等列变换最后可把矩 阵化为标准形矩阵
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ， 就称矩阵 A B 与 等价 ，记作 A B~ 等价关系的性质： A A ~ ; if A B B A ~ , ~ ； if A B B ~ C A ~ , ~ C. 具有上述三条性质的关系就称为等价． （1）反身性： （2）对称性： （3）传递性： 利用初等行变换可把矩阵 A 化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 定理 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵化为标准形矩阵
三、矩阵的秩 1、子阵与阶子式 定义将矩阵A=(an)n的某些行和列划去(可以只 划去某些行和列),剩下的元素按原来的顺序构成的 新矩阵叫做矩阵的子矩阵 定义在mXn矩阵坤,仼取府列(k≤min{m,n}), 位于这些行与列交叉处的k2个元素,依照它们在A 中的位置次序不变而得的k阶行列式,称为矩阵A 的一个k阶子式 m×n矩阵共有C个阶子式 最低阶为1阶,最高阶为min{小
三、矩阵的秩 1、子阵与 k 阶子式 将矩阵 ( ) m n A aij = 的某些行和列划去（可以只 划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的 新矩阵叫做 矩阵 A 的子矩阵. (k m n min{ , } ,) 2 k 在 m n 矩阵 A 中，任取 k 行 列 k 位于这些行与列交叉处的 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 阶行列式，称为矩阵 的一个 k 定义 定义 A k 阶子式. m n 矩阵共有 个 阶子式. k k C Cm n k 最低阶为 1阶， 最高阶为 min{ , } m n 阶
如:矩阵A= 1-3 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素組成的 二阶子式是 13 =12 易见A的最高阶子式是3阶,共有4个3阶子式 而在这个矩阵中, 13-93 01-34 2-3 都是矩阵的子矩阵
如：矩阵 1 3 9 3 0 1 3 4 2 3 9 6 A − = − − − 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素， 12 2 6 1 3 = − 二阶子式是 组成的 易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 而在这个矩阵中, (−9) 1 3 0 1 2 3 − − 都是矩阵 A的子矩阵. 1 3 9 3 0 1 3 4 − −