第三蒋非姿线享程组 一非齐次线性方程组解的性质 二应用举 三小结
非齐次线性方程组解的性质 1、非齐次线性方程组 x1十a1x 11~1 122 Inn 21x1+a2x2+…+a2nn=b2 amIx,+am2x2+.+amxn=b 12 In 若记A= 21 22 2n 2.b= b2 mI m2 n 刂上述方程组(1)可写成向量方程Ax=b
１、非齐次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 若记 （1） 一、非齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a = 1 2 , n x x x x = 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax b = . 1 2 m b b b b =
又可记 x11+x2C2+…+x,n=b (2) 非齐次方程组不一定有解,若有解,则称方程组相 容,若无解,则称方程组不相容 与非齐次方程组Ax=b对应的齐次方程组Ax=0 称为该非齐次方程组的导出组 2、非齐次线性方程组解的性质 (14若71,x2=伪Ax的解,则x=m1-m2 是其导出组Ax射解 (2)若xA的解,x=m为Ax物解 则x=5+也是x=的解 (3)若m1,m2,…,,都为Ax物解,则m+h++n 也是x=的解
（2）若 x = 为 Ax 的解， = 0 x = 为 Ax b = 的解， 1 1 2 2 . n n 又可记 x x x b + + + = 非齐次方程组不一定有解，若有解，则称方程组相 ２、非齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = = , 为 Ax b 的解，则 = 1 2 x = − 是其导出组 Ax = 的解 0 . （２） 容，若无解，则称方程组不相容. 与非齐次方程组 称为该非齐次方程组的导出组. Ax b = Ax = 0 则 x = + 也是 Ax b = 的解． 也是Ax b = 的解． （3）若 1 2 , , , s 都为 的解，则 1 2 s s + + + Ax b = 对应的齐次方程组
3、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k151+k252+…+kn,5nr+m 其中k151+k22+…+kn,5n为其导出组的通解, 7为非齐次线性方程组的任意一个特解 4、非齐次线性方程组有解的几个等价命题 线性方程组Ax有解,则以下命题等价: 分向量b可由向量组a1,ax2…,a,线性表示 分向量组a1,a2,…,an与向量组a1,ax2,…,an,b等价 台R(a1,a2,…an)=R(a1,a2,,an,b)
其中 k k k 1 1 2 2 + + + n r n r − − 为其导出组的通解， ３、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 Ax b = 的通解为 1 1 2 2 . n r n r x k k k = + + + + − − 为非齐次线性方程组的任意一个特解. ４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题 = R R b ( 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 线性方程组 Ax 有解，则以下命题等价： = b 1 2 , , , 向量ｂ可由向量组 n 线性表示. 1 2 , , , 向量组 n 与向量组 等价. 1 2 , , , , n b
定理设n元非齐次线性方程组的系数矩阵为A,增广 矩阵为B,则 1)线性方程组Ax有唯一解令R(4)=R(B)=n 2)线性方程组Ax有无穷解R(4)=R(B)<n 3)线性方程组Ax无解R(4)≠R(B) 推论设A:a1,a2…an,B:a1,an2…,an,b 当R(4)=R(B)=n时,向量b可由向量组A线性 表示,且表达式唯一;当R(4)=R(B)<n时,向量历可 由向量组A线性表示,但表达式不唯一;当R(4)≠R(B) 时,向量b不可由向量组A线性表示
设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广 １）线性方程组 Ax 有唯一解 = b = = R A R B n ( ) ( ) 定理 矩阵为Ｂ，则 ２）线性方程组 Ax 有无穷解 = b = R A R B n ( ) ( ) ３）线性方程组 Ax 无解 = b R A R B ( ) ( ) 1 2 : , , , , 推论 设 A n 1 2 : , , , , B b n 由向量组Ａ线性表示，但表达式不唯一； 当 R A R B n ( ) = = ( ) 时，向量ｂ可由向量组Ａ线性 表示，且表达式唯一； 时，向量ｂ不可由向量组Ａ线性表示. 当 R A R B n ( ) = ( ) 时，向量ｂ可 当 R A R B ( ) ( )
二、应用举例 例1求解下列非齐次线性方程组 2x,+2. 2x,-4x,+8x,=2 2x1+4x2-2x3+3x4=3 3x1-6x2-6x4=4 解方程组的增广矩阵为 1-22-11 2-4802002 0 B 24-233 00001 3-60-6 R(4)≠R(B),所以线性方程组无解
例１ 求解下列非齐次线性方程组 二、应用举例 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 2 2 1 2 4 8 2 2 4 2 3 3 3 6 6 4 x x x x x x x x x x x x x x − + − = − + = − + − + = − − = 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 B − − − = − − − − 解 方程组的增广矩阵为 1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 − − R A R B ( ) ( ), 所以线性方程组无解
例2求解下列非齐次线性方程组 2x1-x2-x3+x4 x1+x2-2x3+x4=4 4x,-6x1+2x,-2x,=4 3x1+6x,-9x2+7x4=9 解方程组的增广矩阵为 10-10 B 166 1229 1-10 24 000 001 4330 3 7 000 因R(4)=R(B)=3<4,所以线性方程组有无穷多解
因 R A R B ( ) = = ( ) 3 4, 所以线性方程组有无穷多解. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = 例２ 求解下列非齐次线性方程组 解 方程组的增广矩阵为 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B − − − = − − − 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 − − −
1=x3+4 ∴2=x+3 30 其中c为任意常数 例3向量组a1=2,a2 1,B=b, 5 试问,当a,b,c满足什么条件时 (1)b可由a1,a2a3线性表示,且表达式唯一? (2)b可由a1,a2,a3线性表示,且表达式不唯一? (3)b不能由a1,a2,a3线性表示?
1 3 2 3 3 3 4 4 3 3 x x x x x x x = + = + = = − 1 2 3 4 x x x x x = 即 1 4 1 3 1 0 0 3 c = + − 其中ｃ为任意常数. 例３ 向量组 1 2 , 10 a = 2 2 1 , 5 − = 3 1 1 , 4 − = 1 b , c = 试问，当 a b c , , 满足什么条件时 （１）ｂ可由 1 2 3 , , 线性表示，且表达式唯一？ （２）ｂ可由 1 2 3 , , 线性表示，且表达式不唯一？ （３）ｂ不能由 1 2 3 , , 线性表示？
2-1 解B=(an1a2a3B)=2 b 1054 2-11 2-1 a+2 10b+1 a-210 b-1 4a+10-30c+4)(a+400c-3b+1 当a+4≠0时b可由a1,a2,a3线性表示,且表达式唯一 当a+4=0且c-3b+1=0时,b可由a1,O2,a3线性表示, 但表达式不唯一; 当a+4=0且c-3b+1≠0时,b不能由a1,a2,a3 线性表示
解 B = ( 1 2 3 ) a + 4 0 时,ｂ可由 线性表示，且表达式唯一. 1 2 3 , , 线性表示. 时，ｂ不能由 1 2 3 , , 2 1 1 2 1 1 10 5 4 a b c − − = 2 1 1 2 1 0 1 4 10 3 0 4 a a b a c − − + − + + − + 2 1 1 2 1 0 1 4 0 0 3 1 a a b a c b − − − − − − + − + 当 当 a + = 4 0 且 c b − + = 3 1 0 时,ｂ可由 1 2 3 , , 线性表示， 但表达式不唯一； 当 a + = 4 0 且 c b − + 3 1 0
四、小结 设n元非齐次线性方程组的系数矩阵为A,增广 矩阵为B,则 1)线性方程组Ax有唯一解 令→R(4)=R(B)=n 2)线性方程组Ax有无穷解 令→R(4)=R(B)<n 3)线性方程组Ax无解 令R(4)≠R(B)
四、小结 设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广 = = R A R B n ( ) ( ) １）线性方程组 Ax = 有唯一解 b 矩阵为Ｂ，则 = R A R B n ( ) ( ) ２）线性方程组 Ax = 有无穷解 b R A R B ( ) ( ) ３）线性方程组 Ax = 无解 b