第三向量的线性想美性 一线性相关性 二判别准则 三应用举例 小结
课前复习 1、定义n个数a1,a2,…,an组成的有序数组 称为一个n维向量,其中a;称为第i个分量(坐标) n维向量写成一行称为行向量,记作a,B n维向量写成一列称为列向量,记作a,B 2、几种特殊向量 实向量,复向量,零向量,单位向量,向量同型, 向量相等 3、矩阵与向量的关系 注意什么是向量的个数、什么是向量的维数,二 者必须分清
课前复习 １、定义 ｎ个数 a a a 1 2 , , , n 组成的有序数组 = (a a a 1 2 n ) 称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量（坐标）. i a i , . T T ｎ维向量写成一行称为行向量，记作 ｎ维向量写成一列称为列向量，记作 , . ２、几种特殊向量 实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型， 向量相等. 注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二 者必须分清. ３、矩阵与向量的关系
4、向量的运算 向量的运算与采用矩阵的运算规律 5、向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所 组成的集合叫做向量组 6、向量空间 设V内n维非空向量组,且满足 ①对加法封闭fa∈V,B∈→a+B∈ ②对数乘封闭ja∈V,λ∈R→礼a∈V 那么就称集合V为向量空间
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组． ５、向量组 if V V V + , ; ６、向量空间 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 ②对数乘封闭 那么就称集合Ｖ为向量空间. if V R V , . ４、向量的运算 向量的运算与采用矩阵的运算规律
向量的线性相关性 1、基本概念 定义工给定向量组A:a1,a2,…a,,对于任何一组数 k,k2…,k,,称向量k1a1+k2a2+…+k,a,为向量组的 一个线性组合( Linear com6 nation) k,k2…,k,为组合的组合系数(Com6 ination Coefficient 定义江设向量组A:a1,a2…,a及向量关系 f=k1a1+k2a2+…+k,ar 则f为向量组的一个线性组合,或称阿由向量组A 线性表示( Linearexpression) kk2…,k,称为β在该线性组合下的组合系数
一、向量的线性相关性 1、基本概念 1 2 : , , , 定义Ⅰ 给定向量组 A r ，对于任何一组数 1 2 , r k k k ， ， ，称向量 1 1 2 2 r r k k k + + + 为向量组的 一个线性组合（Linear Combination）. 1 2 , r k k k ， ， 为组合的组合系数（Combination Coefficient）. 1 2 : , , , 定义Ⅱ 设向量组 A r 及向量β有关系 1 1 2 2 r r = + + + k k k 则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ 线性表示（Linear Expression）. 1 2 , r k k k ， ， 称为β在该线性组合下的组合系数
相关知识点 ①若α=kB,则称向量屿城比例 ②零向量O是任一向量组的线性组合 ③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示 ④任n维向量a=(a1a2…an)都是基本向量组 (10…0),62=(0 00 n 的一个线性组合.事实上,有a=a1E1+a12E2+…+anEn ⑤向量阿由A:ax1,a2,…,an线性表示 即方程组(a1a2 D●● ):|=B有解
① 若α＝kβ，则称向量α与β成比例． ② 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． ④ 任一ｎ维向量 = (a a a 1 2 n ) ( ) 1 = 1 0 0 ， ( ) 2 = 0 1 0 ， ， (0 0 1) n = ， 都是基本向量组 的一个线性组合． 1 1 2 2 . n n = + + + a a a ⑤ 向量β可由 1 2 : , , , A m 线性表示， ( ) 1 2 1 2 m m x x x = 即方程组 事实上，有 ③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 有解
定义Ⅲ设两向量组A:a1,a2,,B:B,月2,…,B 若向量组A中每一个向量皆可由向量组B线性表示 则称向量组A可以由向量组B线性表示 即存在矩阵K,3A=B,Kx 若两个向量组可以互相线性表示,则称这两向量组等价 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性 定义Ⅳ设n维向量组A:a1,a2,…,a,,如果存在不全 为零的数k,k2…k,,使得ka1+k2a2+…+k,ar=0, 则称向量组A:ax1,a2,…,x,线性相关( Cineardependent) 反之,若当且仅当k1k2=…=k1=0,才有 k1a1+k2a2+…+k,an=0,则称向量组A:a1,a2,…,a1 线性无关 Linear Independent)
定义Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2 : , , , : , , , . A B r s ， 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示， 则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示. 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. 1 2 : , , , 定义Ⅳ 设ｎ维向量组 A r 为零的数 1 2 , r k k k ， ， ，使得 1 1 2 2 r r k k k + + + = 0, 则称向量组 ，如果存在不全 1 2 : , , , A r 线性相关（Linear Dependent）. 反之，若当且仅当 1 2 0 r k k k = = = = ，才有 1 1 2 2 r r k k k + + + = 0,则称向量组 1 2 : , , , A r 线性无关（Linear Independent）. 即存在矩阵 , . K A B K s r r s s r =
相关知识点 ①对一个向量组,不是线性相关就是线性无关 ②单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量 ③单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 ④一向量组中存在一个O向量,则一定线性相关 ⑤一个向量组中着部分向量线性相关,则整个向量 组也线性相关;一个向量组若线性无关,则它的任何 一个部分组都线性无关 ⑥两向量线性相关兮两向量对应成比例 ⑦两向量线性无关两向量不对应成比例 ⑧几何上:两向量线性相关分两向量共线 5向量线性相关分三向量共面
② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． ③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． ④ 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关． ⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量 组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何 一个部分组都线性无关． ① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关． ⑧ 几何上：两向量线性相关两向量共线； ⑥ 两向量线性相关两向量对应成比例 三向量线性相关三向量共面. ⑦ 两向量线性无关两向量不对应成比例
二、线性相关性的判断准则 定理向量组线性无关分齐次线性方程组只有零解 定理向量组线性相关兮齐次线性方程组有非零解 推论n个n维向量线性无关兮lanl≠0 推论n个n维向量线性相关分an|=0 定理向量组线性无关分任何一个向量都不能由其向 量线性表示 定理向量组线性相关兮至少有一个向量可由其余向 量线性表示 证jA:ax1…,ax,…,a1→k1a1+…+ka1+…+k,an=0 A线性相关,至少有一个系数不为零,不妨设k1≠0 →k1a1+…+k;1Q1-1+k+1C1+1+…+k,rn=-k1 k1 C1+… C:; C:+… 得证 k k i+1
二、线性相关性的判断准则 定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解. 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 0. ij a = 推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 0. ij a 向量组线性无关任何一个向量都不能由其向 量线性表示． 定理 向量组线性相关至少有一个向量可由其余向 量线性表示． 定理 证 1 : , , , , i r if A 1 1 0 i i r r + + + + = k k k ∵Ａ线性相关， 0 i k 1 1 1 1 1 1 i i i i r r i i + + + + + = − k k k k k − − + + 1 1 1 1 1 1 i i r i i i r i i i i k k k k k k k k − + = + + + + + − + − − − − 得证 至少有一个系数不为零，不妨设
定理如果向量组A=a1,a2,…,a,线性无关,而向量组 B:a1,a2,…,a,a线性相关,则呵由A唯一线性表示 证设k1a1+k2a2+…+k,a1+ka=0 A线性无关,而向量组B线性相关, k≠0,(否则与A线性无关矛盾) 即有k1a1+k2a2+…+k,ar=-ka k →c=c1 a.∴a可由A线性表示 k 下证唯一性: 设α=AC1+2Q2+…+,ar;a=A1ar1+H2a2+…+Hr 两式相减有(41-A)a1+(42-12)a2+…+(x1-4)a1=0 A线性无关,∴A1-1=0,12-2=0,…1-=0 4=A,2=均…1=即表达式唯一
定理 如果向量组 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示. 1 2 , , , A = r 1 2 : , , , , B r 线性无关，而向量组 证 1 1 2 2 0 r r 设 k k k k + + + + = ∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾） 1 1 2 2 r r k k k k + + + = − 1 2 1 2 r r k k k k k k = + + + − − − ∴α可由Ａ线性表示. 下证唯一性： 1 1 2 2 ; = + + + r r = + + + 1 1 2 2 r r 两式相减有 ( 1 1 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 0 − + − + + − = r r r ∵Ａ线性无关， 1 1 2 2 0, 0, 0 − = − = − = r r 1 1 2 2 , , = = = r r 即表达式唯一. 即有 设
定理设向量组Aa1,a2,…,ar,B:an1a2…,a,am1 若A线性相关则向量组B也线性相关;反之,若 向量组B线性无关,则向量组A也线性无关 定理设向量组Aa1,a2,…,an,B月1,B2,…,月,其中 9 9 月1=( 2i n +1, (i=1,2,…,n) 若A线性无关,则向量组B也线性无关;反之,若 向量组B线性相关,则向量组A也线性相关 注意:以上两个定理完全不同,干万不要混淆,第 个定理中是向量的个数变,在方程组中体现在未知数 的个数变;第二个定理中是向量的维数变,在方程组中 体现在方程的个数变
定理 设向量组 1 2 , , , A： r 1 2 1 : , , , B r r+ 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. ( 1 2 1, ) T i i i mi m i a a a a = + 定理 设向量组 ( ) ( 1,2, , ) i n = 1 2 T i i i mi = a a a 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 1 2 , , , , A： n 1 2 , , , . B： n 其中 ( 1,2, , ) i n = 注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第 一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数 的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中 体现在方程的个数变
