第二姿线程组 齐次线性方程组解的性质 基础解系及其求法 三应用举例 小结
齐次线性方程组解的性质 1、解向量 设有齐次线性方程组 1x1+a12X2+……+a1nn= a21x1+a2)x2+…+a2nxn=0 (1) amIx,+am2x 2+.+amxn=0 11 12 若记A= 21 22 2n m2 n 则上述方程组(1)可写成向量方程Ax=0
１、解向量 设有齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a = = xn x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = 0
若x1 1-9211942 521,…,xn=5n1使得方程x=成立, 则x=5=称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程4x=0的解 nI 2、齐次线性方程组解的性质 (1若51,x2=的Ax的解,则x=41+2 也是Ax的解 (2)若x=的網,为实数,则x=k21 也是x=的解 易知,方程组的全体解向量构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组Ax=0的解空间
1 11 2 21 1 , , , n n 若 x x x = = = 11 21 n1 x = = 称为方程组（1）的解向量， 它也就是向量方程 的解． ２、齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = = , 为 Ax 的解，则 = 0 x = 1 + 2 也是 Ax = 的解 0 . （2）若 x1 1 = 为 Ax 的解， = 0 为实数，则 k x = k 1 也是 Ax = 的解． 0 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间． 易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间， 则 使得方程 Ax = 0 成立， Ax = 0
、基础解系及其求法 1、基础解系的定义 方程组Ax=0的解空间中,它的某一个部分组 51,22…,满足: ①5,2,…,线性无关 ②V5,35,5f,52,…5线性相关 则称5152,…,5为齐次线性方程组的一组基础解系 如果5,52,…,5、为齐次线性方程组Ax=0的 基础解系,则方程组Ax=0的通解可表示为: x=k151+k252+…+k 'ssg 其中k1,k2,…,k为任意实数
１、基础解系的定义 二、基础解系及其求法 1 2 , , , s 基础解系，则方程组 Ax = 0 的通解可表示为： 方程组 Ax = 0 的解空间中，它的某一个部分组 ② 线性相关. 1 2 , , , , , s ① 1 2 , , , s 线性无关； 则称 为齐次线性方程组的一组基础解系. 1 2 , , , s 满足： 如果 1 2 , , , s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的 1 1 2 2 , s s x k k k = + + + 其中 为任意实数. 1 2 , , , s k k k
2、线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r,并不妨 设A的左上角r阶子式D≠0,因此,A的前r个行向 量线性无关又任意r+1个行向量线性相关,所以齐 次线性方程组的m-r个方程多余 扣(1)中的前r个方程与(1)同解 所以对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为最简形 e B 即A 00 11~r+1 +b 12~r+2 +∴+b 1, n 所以Ax=0分 (2) +b r1~r+1 r2~r+2 n-rn
２、线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ， 量线性无关． D r 0, 因此，Ａ的前ｒ个行向 又任意ｒ+１个行向量线性相关，所以齐 即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解. E B r A O O （２） 并不妨 设Ａ的左上角ｒ阶子式 次线性方程组的ｍ-ｒ个方程多余. 所以对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形 1 11 1 12 2 1, 1 1 2 2 , 0 r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x Ax x b x b x b x + + − + + − = + + + = = + + + 所以 即
于是,(1)的全部解就可以写成 r++b12Xx+2+…+b1m-x b +bx +∴+b 2 21~r+1 22-r+2 n-r x=brx++b,2x+2+.+bmx (3) r+1 r+1 r+2 +2 其中x,x+2,…,x是任意实数 根据向量的运算法则,(3)可以整理成为:
（３） 1 11 1 12 2 1, 2 21 1 22 2 2, 1 1 2 2 , 1 1 2 2 r r n r n r r n r n r r r r r r n r n r r r r n n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x x x x x x x + + − + + − + + − + + + + = + + + = + + + = + + + = = = 于是，（１）的全部解就可以写成 其中 1 2 , , , r r n x x x + + 是任意实数. 根据向量的运算法则，（３）可以整理成为：
11 12 n-r 2 2,n-1 r2 +…+x1|0m-(4) r+1 +2 0 0 令(4)为5=k151+k252+…+kn5nr (5) 如果5,52,…,5n为齐次线性方程组(1)的一个 基础解系.则(5)就为方程组x=0的通解
令（４）为 （４） 1 1 2 2 n r n r k k k = + + + − − （５） 则（５）就为方程组Ax = 0的通解. 如果 1 2 , , , n r − 为齐次线性方程组（１）的一个 基础解系. 1 2 1 2 r r r n x x x x x x + + 11 21 1 1 1 0 0 r r b b b x + = 12 22 2 2 0 1 0 r r b b b x + + + 1, 2, , 0 0 1 n r n r r n r n b b b x − − − +
下证5,52,…,5n是线性方程组的一组基础解系 1、证明ξ1,2…,5n,线性无关 1)(0 由于nr个nr维列向量,…线性无关, 所以nr个n维向量,52…,n亦线性无关 2、证明解空间的任一解都可由51,92…,9n线性表示 设x=5=(41…λ r+1 n)为某一解向量, 再构造51,52…,n的一个线性组合: +191 r+292 十∴十 non-r 身,,5是Ax的解,故m也是A的解
１、证明 1 2 , , , n r − 线性无关. 由于ｎ-ｒ个ｎ-ｒ维列向量 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 线性无关， 所以ｎ-ｒ个ｎ维向量 1 2 , , , n r − ２、证明解空间的任一解都可由 1 2 , , , n r − 线性表示. 设 ( 1 1 ) T r r n x = = + 为某一解向量， = + + + r r n n r + + − 1 1 2 2 再构造 1 2 , , , n r − 的一个线性组合： n r , , , 由于 1 2 − 是 Ax 的解，故 = 0 η也是 Ax的解= 0 . 亦线性无关. 下证 1 2 , , , n r − 是线性方程组的一组基础解系
:=+51++252+…+1,nr 12 1, 22 2,n-r b 十 ,"2+…+0,n r+2 0 0 r+2 0 易知:方程组的前r个未知量可由后n-r个未知量 唯一确定
= + + + r r n n r + + − 1 1 2 2 1 2 2 r r r n c c c + + = １ 易知：方程组的前ｒ个未知量可由后ｎ－ｒ个未知量 唯一确定. 11 21 1 1 1 0 0 r r b b b + = 12 22 2 2 0 1 0 r r b b b + + + 1, 2, , 0 0 1 n r n r r n r n b b b − − − +
而5=n;7= r+1 →λ1 195 r+2 r+2 故5=7.即5=4151+252+…+4nfn 所以552,…5是齐次线性方程组解空间的一个基 说明1、解空间的基不是唯一的 2、解空间的基又称为方程组的基础解系 3、任n-r个线性无关的解向量构成基础解系
1 1 2 . r r r n c c + + = c , , c . 1 = 1 r = r 1 1 2 r r r n + + = 而 ； 故 = . 1 1 2 2 . r r n n r 即 = + + + + + − 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 1 2 , , , n r − 说明 １、解空间的基不是唯一的． ２、解空间的基又称为方程组的基础解系． ３、任ｎ-ｒ个线性无关的解向量构成基础解系．
