《线性代数》课程PPT教学课件（讲稿）第二章 矩阵及运算（2.6）初等矩阵

第初等陈 等矩阵 二应用举例 三小结

课前复习 1、矩阵的初等变换( Elementary transformation) r(> 初等行(列变换{xk(c1xk) kr.c,+kc 2、子式与子式 3、秩的定义及性质 inAn,j(1)彐D≠0;(2)VD+1=0 则称为矩阵的最高阶非零子式.最高阶非零子式 的阶数称为矩阵的秩,记为r(戏R(A)

２、子式与 k 阶子式 ３、秩的定义及性质 课前复习 １、矩阵的初等变换（Elementary transformation） 初等行(列)变换 ( ) ; i j i j r r c c   ( ) ; i i r k c k   ( ) . i j i j  r kr c kc + +       , m n in A if  0 ;   D r 1 0 . （1） （2）  = D r+ 则 称为矩阵 的最高阶非零子式. D r A 记为 r(A或) R. (A) 最高阶非零子式 的阶数称为矩阵的秩

4、如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价,记作A~B 5、矩阵等价具有的性质 反身性 对称性;传递性 6、利用初等行变换可把矩阵我化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换,也可把矩阵化为行最简形矩阵 利用初等行变换,再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵 =最高阶非零子式的阶数 7、矩阵的秩=行阶梯形矩阵非零行的行数 =行最简形矩阵非零行的行数 =标准形矩阵中单位矩阵的阶数

４、如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ， 就称矩阵 A B 与 等价 ，记作 A B~ ５、矩阵等价具有的性质 反身性; 对称性; 传递性. 利用初等行变换可把矩阵 A 化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. ６、 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵 化为标准形矩阵. ７、矩阵的秩 = 最高阶非零子式的阶数 = 行阶梯形矩阵非零行的行数 = 行最简形矩阵非零行的行数 = 标准形矩阵中单位矩阵的阶数

初等矩阵的概念 定义E-→>P,P就称为初等矩阵 相应的,三种初等变换对应着三种初等方阵 1、对调 记作E(i, (c)(e;

, ET E P ⎯⎯⎯→ 一次 相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. 一、初等矩阵的概念 定义 １、对调 1 1 0 0 1 1       P 就称为初等矩阵. E i j ( , ) 0 1 1 0 ( )i r ( )j r ( )j ( ) c i c 记作

12 In 「"m"nx"amGr) Em(i,j)a=I an(r) n m2 n n AEGG,j) 21 2n c

( )i r ( )j r ( , ) E i j A m = 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n j j jn i i in m m mn a a a a a a a a a a a a       11 1 1 1 21 2 2 2 1 j i n j i n m mj mi mn a a a a a a a a a a a a             ( )j ( ) c i c ( , ) AE i j n =

2、数乘 ()记作E(( C n AE,GG,j Em(i(k)A= kean kain(r) ka.. n n ml

２、数乘 1 1 1 1 1       11 1 11 n i in m mn a a ka ka a a               ( )ir ( )i c ( )i ( ( )) r E i k A m = 11 1 1 1 i n m mi mn a ka a a ka a           ( , ) AE i j n = ( )i c k 记作 E i k ( ( ） )

3、倍加 记作E(,(k) C ka n AE, (i,j(k))=I m1 i a…:+ka (c1)

３、倍加 1 1 1 1       11 1 1 1 1 1 i j i n m mi mj mi mn a a a ka a a a a ka a   +       +   E i j k ( , ( ) ) 1 1k ( )ir ( )j r ( )i c ( )j c 记作 ( , ( )) AE i j k n = ( )i c ( )j c

11 an+kar.@n +amI() Em(i,j(R)A n…am-(r) 基本事实 mI n E(,)A相当分,AE(相当于e E(i(k)A4相当于r×k,AE(k)相当于c1×k, E(j(k)A相当于r+k,AE(,(k)相当于c1+kc

11 1 1 1 1 1 n i j in jn j jn m mn a a a ka a a a a a a     + + 基本事实   E i j A ( , ) 相当于 , i j r r  AE i j ( , ) 相当于 , i j c c  E i k A ( ( )) 相当于 , i r k  AE i k ( ( )) 相当于 , i c k  E i j k A ( , ( )) 相当于 , i j r kr + AE i j k ( , ( ))相当于 , j i c kc + ( , ( )) E i j k A m = ( )i r ( )j r

二、基本结论 1、初等矩阵均可逆 EGG,=E(i,i; E(i(k=E(i(; E(G,j(D)=E(i,j(k))) mhV4->B令PA=B 2、P,Q为初等矩阵 mhVA--次→B分4Q=B 3、ThjA ET B bB ET A 4、mhiA归台彐有限个初等矩阵P,P2,,p 9 A=P1p2.P mhA~B分P4O=B 5、P,Q为可逆阵 Th R(A=r PAQ

二、基本结论 １、初等矩阵均可逆 1 E i j ( , ) − 1 E i k ( ( )) − 1 E i j k ( , ( )) − = E i j ( , ); 1 E i( ( )); k = = − E i j k ( , ( )). ERT Th A B PA B  ⎯⎯⎯→  = 一次 ECT Th A B AQ B  ⎯⎯⎯→  = 一次 ２、 P Q, 为初等矩阵 ３、 ET ET Th if A B B A ⎯⎯→  ⎯⎯→ ４、 1 Th if A−    1 2 , , , , s p p p A p p p 1 2 s  = 有限个初等矩阵 Th A B PAQ B  = ( ) E O r Th R A r PAQ O O   =  =     ５、 P Q, 为可逆阵

初等矩阵的应用 A→A≠0→A=P12…P→A=p,…P2n1 又∵H(AE)=(AAAE)=(EA) n,2…nln2(4E)=(EA") 因此(AE)BT( E 类似的 EA-I E 因此(4)ECT/E E

三、初等矩阵的应用 1 A −    | | 0 A  = A p p p 1 2 s 1 1 1 1 A p p p s 2 1  = − − − − 又 ( ) 1 A A E − ( ) 1 1 A A A E − − = ( ) 1 E A− = ( ) 1 1 1 s 2 1 p p p A E − − −  ( ) 1 E A− = 因此 ( A E) ERT ( ) 1 E A− 类似的 A 1 A E −       1 1 1 s 2 1 1 A E p p p E A − − − −      =         A E       1 E A −       因此 ECT 1 1 AA EA − −   =     1 E A −   =    