第亖幕向量组的秩 一向量组的秩 二判别准则 三向量组与矩阵秩的系 应用 五向量空间的基与维数
课前复习 1、基本概念 线性组合C 组合系数C ka1+k2a2+…+kn线性表示CE 线性相关Co 2、基本结论 线性无关C 定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解 定理向量组线性无关φ齐次线性方程组只有零解; 推论n个m维向量线性相关分l=0 推论n个n维向量线性无关分an|≠0 定理向量组C①冷至少有一个向量可由其余向量C 定理向量组CⅠO仲任何向量都不能由其余向量C
1、基本概念 1 1 2 2 r r k k k + + + 线性表示LE 课前复习 线性组合LC 组合系数CC 线性相关LD 线性无关LID 定理 向量组LD至少有一个向量可由其余向量LE ． 定理 向量组LID任何向量都不能由其余向量LE ． 定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解. 2、基本结论 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 0 . ij a = 推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 0 . ij a
定理如果向量组A=a1,a2,…,a,线性无关,而向量组 a1,2…,ar,B线性相关,则阿由A唯一线性表示 定理设向量组Aa1,a2,…,a1B:a1,a2…,ax,On1 若A线性相关则向量组B也线性相关;反之,若 向量组B线性无关,则向量组A也线性无关 定理设向量组Aa1,a12…,an,B:B1,月2,…,Bn其中 m+1, (i=1,2,…,n 若A线性无关,则向量组B也线性无关;反之,若 向量组B线性相关,则向量组A也线性相关
定理 如果向量组 线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示. 1 2 , , , A = r 1 2 , , , , r 线性无关，而向量组 定理 设向量组 1 2 , , , A： r 1 2 1 : , , , B r r+ 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. ( 1 2 1, ) T i i i mi m i a a a a = + 定理 设向量组 ( ) ( 1,2, , ) i n = 1 2 T i i i mi = a a a 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 1 2 , , , , A： n 1 2 , , , . B： n 其中 ( 1,2, , ) i n =
向量组的 1、极大线性无关组 设a1,a2,…a是一个向量组,它的某一个部分组 0 i19wi22 ,ir 若满足 ①A4:a1,2;…,an线性无关 ②∨a(1≤j≤s),a,a1,a2,…,a线性相关 则称A4:cn,a12;…,an为A的一个极大线性无关组 2、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 记作:R(A)或R(an1a2
一、向量组的秩 １、极大线性无关组 ② ( ) 线性相关. 1 2 1 , , , , , i i ir j s 若满足： 设 1 2 , , , s 是一个向量组，它的某一个部分组 0 1 2 : , , , A i i ir ２、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ) 或 R( 1 2 s ) ① A0 1 2 : , , , i i ir 线性无关； 则称 为Ａ的一个极大线性无关组. 0 1 2 : , , , A i i ir
相关知识点 ①一个向量组的极大无关组不是唯一的 ②向量组与它的任一极大无关组等价 ③一个向量组的任意两个极大无关组都等价 ④一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同 ⑤一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身 ⑥一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集 ⑦零向量组构成的向量组不存在极大无关组 8任何非零向量组必存在极大无关组 任何n维向量组a1,a2,…,an如果线性无关,那么它 就是R中的极大无关组 ⑩显然n维向量组,62,…,En就是R的极大无关组 等价的向量组同秩
④ 一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同. ① 一个向量组的极大无关组不是唯一的. ⑤ 一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身. ③ 一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑦ 零向量组构成的向量组不存在极大无关组. ⑧ 任何非零向量组必存在极大无关组. ⑨ 任何ｎ维向量组 1 2 , , , n 如果线性无关，那么它 就是 中的极大无关组. n R ⑩ 显然ｎ维向量组 就是 中的极大无关组. n 1 2 , , , n R ② 向量组与它的任一极大无关组等价. ⑾ 等价的向量组同秩. ⑥ 一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集
2二、线性相关性的判断准则 扩A=a1,a2…,a,B=B1,月2,…,B 定理向量组A线性无关分RA)= 定理向量组A线性相关兮R(A)向量的维数n,则 向量组A线性相关 定理向量组A可由B线性表示,则 ①存在矩阵K,x,3A=B,K,y ②若r>s,则A线性相关 ③A线性无关,则r≤s ④RA)sR(B) ⑤等价向量组必有同秩.(反之则不然)
二、线性相关性的判断准则 定理 向量组Ａ线性相关Ｒ(Ａ)＜ｒ． 定理 向量组Ａ线性无关Ｒ(Ａ)＝ｒ． 1 2 , , , , r if A = 1 2 , , , B = s 向量组Ａ中向量的个数ｒ＞向量的维数ｎ，则 向量组Ａ线性相关. 推论 定理 向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则 ② 若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关. ③ Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ. ④ Ｒ(Ａ) ≤Ｒ(Ｂ) . ⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然） ① 存在矩阵 , . K A B K s r r s s r =
证①:设x;a1+x2a2+…+x,C1=0 a)5=0.记=0 又A可由B线性表示,则彐K,A=BK Ax=0→BKx=0仅考虑Kx=0 由于r>s,所以K构成的列向量线性相关 故Kx=0有非零解 亦即彐x=(x1x2…x)≠0 所以A线性相关 3x1a1+x2a2+…+xC=0
1 1 2 2 0 r r 证①：设 x x x + + + = ( ) 1 2 1 2 0. r r x x x = 即 记 Ax = 0 又Ａ可由Ｂ线性表示，则 , . = K A BK s r = = Ax BKx 0 0 仅考虑 Kx = 0, 由于ｒ＞ｓ，所以Ｋ构成的列向量线性相关. 故 Kx = 0 有非零解. 亦即 ( 1 2 ) 0 T r = x x x x 1 1 2 2 0 r r + + + = x x x 所以Ａ线性相关
证:设R(A=p,R(B)=q,再设A,B分别为A,B 的极大无关组 因为A可由B线性表示,则4可由B线性表示, 而A线性无关,则P≤q,∴R(A)≤R(B) 定理向量组A与B均线性无关且A与B等价则r=s 推论扩Cmn=Am,B,n→R(C)≤R(A),R(C)≤R(B) 证明:设矩阵c和A用其列向量表示为 ),而B=(b b,…b / sxn 由 bn…b,n
R A R B ( ) ( ) 证③： 的极大无关组. 因为Ａ可由Ｂ线性表示，则 A B 0 0 可由 线性表示， 定理 向量组Ａ与Ｂ均线性无关,且Ａ与Ｂ等价,则 r s = . 设 R A p R B q ( ) = = , , ( ) 再设 A B0 0 , 分别为Ａ,Ｂ ( ) ( ), ( ) ( ). m n m s s n 推论 if C A B R C R A R C R B = C c c A a a = = ( 1 1 n s ), , ( ) B b( ij) = s n 而 ， 证明：设矩阵Ｃ和Ａ用其列向量表示为 ( ) ( ) 11 1 1 1 1 n n s s sn b b c c a a b b = 由 而 线性无关，则 p q , A0
易知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示, 因此R(C)≤R(4) 又因C=BA,易知R(C)≤R(B),即R(C)≤R(B 推论设向量组B是向量组A的部分组,若向量组B线性 无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B 是向量组A的一个极大无关组 证明:设向量组B含r个向量,则它的秩为r, 因向量组A能由向量组B线性表示,故A组的秩≤r, 从而A组中任意r+1个向量线性相关,所以向量组B 满足定义中极大无关组的条件 所以向量组B是向量组A的一个极大无关组
因此R C R A ( ) ( ). , ( ) ( ), T T T T T 又因C B A R C R B = 易知 即R C R B ( ) ( ). 易知矩阵Ｃ的列向量组能由Ａ的列向量组线性表示， 推论 设向量组Ｂ是向量组Ａ的部分组，若向量组Ｂ线性 无关，且向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，则向量组Ｂ 是向量组Ａ的一个极大无关组. 证明：设向量组Ｂ含ｒ个向量，则它的秩为ｒ， 因向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，故Ａ组的秩≤ｒ， 从而Ａ组中任意ｒ+１个向量线性相关，所以向量组Ｂ 满足定义中极大无关组的条件. 所以向量组Ｂ是向量组Ａ的一个极大无关组
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系 In 定义矩阵A mI A的列向量组的秩称为列秩,记为:c(4) A的行向量组的秩称为行秩,记为:r(4 定理R(Amx)=c(a1…an)=r(a 结论训 xn ①彐D≠0,则D所在行(列)向量组线性无关 ②D.=0,则A的任r行(列)向量组线性相关 3D≠0,且含有D的Dn1=0,则R(4)=r
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 1 , n n m m mn a a a a a a A a a a = Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为： Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为： r A( ). c A( ). 定理 ( ) ( 1 1 ) ( ) T T R A c r m n n m = = 结论 m n in A ① ，则 所在行（列）向量组线性无关. D r 0 D r ② 0 ，则Ａ的任ｒ行（列）向量组线性相关. = D r ③ 0，且含有 的 ，则 . D r D r 1 0 = D r+ R A r ( ) =