第 Cramer则 Cramer法则 二几个结论 三小结 思考
课前复习 余子式与代数余子式 在阶行列式中,把元素所在的第行和第列 划去后,留下来的n阶行列式叫做元素的余子式 记作M 记4=(-1)M叫做元素4代数余子式 关于代数余子式的重要性质 D,当i ∑ a,A.,=D6 ,当i≠ 当i= = 10,当i≠j ∑ a.A.=D8.= ∫D,当 -0,当i≠
课前复习 余子式与代数余子式 ij a 记作 . 划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 i 列 j n − 1 ij a Mij ( 1) i j A M ij ij + 记 = − ， 叫做元素 a 的 ij 代数余子式． 关于代数余子式的重要性质 1 , , 0 , ; n ki kj ij k D i j a A D i j = = = = 当 当 1 , , 0 , ; n ik jk ij k D i j a A D i j = = = = 当 当 1 , 0 , . ij i j i j = = 当 ， 当
Cramer法则 1、非齐次与齐次线性方程组的概念 x1+a1X+。十1 nn 设线性方程组a1+a2x2+…+anxn=b2 n11+an2x,+……+anX n nn n 若常数项b,b2;不全为零,则称此方程组 为非齐次线性方程组; 若常数项b,b2全为零,则称此方程组为 齐次线性方程组 使得方程组成立的一组数x,x2称的此方 程组的解
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 设线性方程组 若常数项 1 2 , , , 不全为零，则称此方程组 n b b b 若常数项 1 2 , , , 全为零，则称此方程组为 n b b b 1、非齐次与齐次线性方程组的概念 一、Cramer法则 为非齐次线性方程组； 齐次线性方程组. 使得方程组成立的一组数 x x x 1 2 , , , 称为 n 此方 程组的解
2、 Cramer法则 1,x,+a1x2+∴+a,x,=b, 定理如果线性方程组 21~1 x,+…+a 22-2 ann .x,十aX+…+aX n nn n 12 In 的系数行列式不等于零,即D=na n≠0 那么线性方程组有解,并且解可以唯一表示为 D D D D 其中把系数行列式第列的元素用方程组 右端的常数项代替后所得到的阶行列式
如果线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0 2、Cramer法则 定理 那么线性方程组有解，并且解可以唯一表示为 1 2 3 1 2 3 , , , , . n n D D D D x x x x D D D D = = = = 右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式. 其中 D 是把系数行列式 i D 中第 列的元素用方程 i 组
几个结论 1、线性方程组的相关定理 定理如果线性方程组的系数行列式D≠0,则线性 方程组一定有解且解是唯一的 定理如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它 的系数行列式必为零 2、齐次线性方程组的相关定理 定理如果齐次线性方程组恒有零解 定理如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则 齐次线性方程组没有非零解即当且仅当只有零解 定理如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行 列式必为零
二、几个结论 1、线性方程组的相关定理 定理 定理 的系数行列式必为零. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它 方程组一定有解,且解是唯一的 . 如果线性方程组的系数行列式 D 0 ，则线性 2、齐次线性方程组的相关定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则 齐次线性方程组没有非零解.即当且仅当只有零解. 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行 列式必为零. 定理 定理 定理 如果齐次线性方程组恒有零解
例1今有牛五羊二,直金十两,牛二羊五,直金八两, 问牛羊各直几金? 5x1+2x,=10, 解:牛羊分别直x1x2金,记 2x,+5 8 52 D =25-4=21≠0, 25 102 510 85 =34,D =20. 28 D,34 20 D21 D21
5 2 2 5 D = 今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两， 问牛羊各直几金？ 例1 1 2 1 2 5 2 10, 2 5 8. x x x x + = + = 5 2 2 5 D = = − 25 4 = 21 0, D1 = 34, = 20, D D x 1 1 = 34 , 21 = D D x 2 2 = 20 . 21 = 解：牛羊分别直 1 2 x x, 金，记 10 8 5 2 2 5 D 2 = 10 8
例2用 Cramer法则解方程组 x1+x2+…+xn1+xn=2 x1+x,+…+2xn1+xn=2 x1+(n-1)x2+…+xn1+xn=2 Hx1+x2+…+xn-1+xn=2 解 易见D=: ≠0 n
例2 用Cramer法则解方程组 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 ( 1) 2 2 n n n n n n n n x x x x x x x x x n x x x nx x x x − − − − + + + + = + + + + = + − + + + = + + + + = 解 易见 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D n n = − 0
2…1 11∴2.2 所以,线性方 D 0 程组的解唯一 (i≠m)1n-12…1 n1…2…1 0 D L≠n D =2D D =2 D
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D n n = ( ) i n − = 0 i i D x D = 所以，线性方 程组的解唯一 = 2D n n D x D = ( ) i n = 2 = 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D n n = − 2 2 2 2 D n Di
(1-x)x1-2x2+4x3=0 例3齐次方程组{2x1+(3-4)x2+x3=0 x1+x2+(1-元)x3=0 有非零解,问λ取何值时? 解 2 4 1-元-3+4 D 23-1 1- 11-元 0 元-3(-1)(1-)+4 21-2 2(-1)+1 0 0
例3 齐次方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1 ) 2 4 0 2 (3 ) 0 (1 ) 0 x x x x x x x x x − − + = + − + = + + − = 有非零解，问 取何值时？ 解 − − − − = 1 1 1 2 3 1 1 2 4 D − − − − + = 1 0 1 2 1 1 1 3 4 1 3 ( 1)(1 ) 4 2 1 2( 1) 1 1 0 0 − − − − + = − − +
λ-3-2+2元+3 2元-1 (兀+1) (x-3) 1-元2元-1 0 =(孔-3 2元-元2 =(-3)(2-2) (-2)(-3) 齐次方程组有非零解,则D=0 所以=0,或2时齐次方程组有非零解
齐次方程组有非零解，则 D = 0 所以 = 0,或 = 2 时齐次方程组有非零解 = 3 . 1 ( 1) ( 3) 1 2 1 − + = − − − 2 1 0 ( 3) 1 2 = − − − 2 = − − ( 3)(2 ) 2 3 2 3 1 2 1 − − + + = − − = − − − ( 2)( 3)